पाठ 10 / 100 | Quantitative Aptitude / Arithmetic Operations / अंकगणितीय संक्रियाएँ
BODMAS और एक-दूसरे के भीतर कोष्ठक
सीखने का परिणाम
व्यंजकों को निश्चित क्रम में हल करें, भीतर-बाहर के कोष्ठक सँभालें और समझें कि कोष्ठक ऋणात्मक संख्या के वर्ग का अर्थ कैसे बदलते हैं।
अवधारणाएँ और उनके कारण
व्यंजक में संख्याएँ और संक्रियाएँ जुड़ी होती हैं। BODMAS उसे पढ़ने की साझा परिपाटी है, प्राथमिकता के छह अलग स्तर नहीं। इससे अलग पाठक एक ही व्यंजक का अलग अर्थ नहीं निकालते।
B: कोष्ठक। सबसे भीतर का समूह पहले हल करें, फिर बाहर की ओर आएँ। गोल कोष्ठक (), वर्ग कोष्ठक [] और मझले कोष्ठक {} सभी समूह बनाते हैं। कौन भीतर है, यह क्रम तय करता है; कोष्ठक का आकार नहीं। हर समूह के भीतर सामान्य संक्रिया-क्रम लागू करें।
O: घात। आधार का मान तय होने के बाद घात निकालें। यहाँ घातांक धनात्मक पूर्णांक हैं: वर्ग का अर्थ आधार को उसी से गुणा करना है, घातांक से गुणा करना नहीं।
D और M: भाग तथा गुणा की प्राथमिकता समान है। बाएँ से दाएँ चलें। BODMAS का अर्थ यह नहीं कि हर गुणा से पहले सभी भाग पूरे किए जाएँ।
A और S: जोड़ तथा घटाव की प्राथमिकता समान है। बाएँ से दाएँ चलें। इसका अर्थ सभी घटाव से पहले सभी जोड़ करना नहीं है। इस स्तर से पहले गुणा और भाग पूरे करें।
एकल ऋण चिह्न एक व्यंजक पर लागू होता है; घटाव दो व्यंजकों के बीच की संक्रिया है। कोष्ठक ऋणात्मक संख्या को घात का आधार बना सकते हैं। इनके बिना शुरू के एकल ऋण चिह्न से पहले घात निकालते हैं: -5^2 का अर्थ -(5^2) है, जबकि (-5)^2 पूरे ऋणात्मक आधार का वर्ग है।
अंतर चिह्न के दायरे का है: वह किस हिस्से पर लागू है? इसी तरह भाग चिह्न के बाद कोष्ठक पूरा भाजक बताते हैं। गुणा करना हो तो × स्पष्ट लिखें; संख्या और कोष्ठक पास-पास लिखने पर निर्भर न रहें।
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — समान प्राथमिकता। 36 ÷ 6 × 3 - 8 + 2 निकालें। पहले 36 ÷ 6 = 6, फिर 6 × 3 = 18। अब बाएँ से दाएँ: 18 - 8 = 10 और 10 + 2 = 12। 6 × 3 को मिलाकर एक भाजक न बनाएँ।
उदाहरण 2 — भीतर-बाहर के कोष्ठक। 72 ÷ {3 × [8 - (5 - 3)]} निकालें। भीतरी अंतर 2 है। वर्ग कोष्ठक 8 - 2 = 6 बनता है; मझला कोष्ठक 3 × 6 = 18। इसलिए 72 ÷ 18 = 4।
उदाहरण 3 — चिह्न और वर्ग। -5^2 + (-5)^2 - 2 × [3 - (-4)] निकालें। यहाँ -5^2 = -25, लेकिन (-5)^2 = 25। कोष्ठक का मान 7 है, इसलिए व्यंजक -25 + 25 - 14 = -14 बनता है। वर्ग वाले पद कटते हैं; अंतिम घटाव बचता है।
आम गलतियाँ
प्राथमिकता देखे बिना हर संक्रिया बाएँ से दाएँ न करें। भाग को गुणा से या जोड़ को घटाव से ऊपर न रखें। भाजक सरल होकर शून्य बने तो व्यंजक अपरिभाषित है।
अभ्यास प्रश्न
- 64 ÷ 8 × 3 - 7 + 2 निकालें।
- 90 ÷ {5 × [7 - (4 + 1)]} निकालें।
- -6^2 + (-6)^2 + 18 ÷ (-3) निकालें।
- क्या 20 ÷ [3 × (5 - 3) - 6] परिभाषित है? कारण बताएँ।
उत्तर और व्याख्या
- 19। भाग और गुणा से 64 ÷ 8 = 8, फिर 8 × 3 = 24। अंत में 24 - 7 + 2 = 17 + 2 = 19।
- 9। पहले 4 + 1 = 5, फिर 7 - 5 = 2। भाजक 5 × 2 = 10 है, इसलिए 90 ÷ 10 = 9।
- -6। पद क्रमशः -36, 36 और -6 हैं। इसलिए -36 + 36 - 6 = -6। कोष्ठक तय करते हैं कि ऋण चिह्न भी वर्ग में शामिल है या नहीं।
- अपरिभाषित। भाजक 3 × 2 - 6 = 0 है। व्यंजक में 20 ÷ 0 करना पड़ेगा, जो मान्य नहीं; इसका मान शून्य नहीं है।