पाठ 63 / 100 | Quantitative Aptitude / Measurement / मापन
लंबाई, क्षेत्रफल और आयतन की इकाइयों का रूपांतरण
सीखने का लक्ष्य
लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन और धारिता की इकाइयों का सही रूपांतरण करना तथा अलग-अलग इकाइयों में दिए गए मापों के साथ गणना करना।
अवधारणाएँ और मान्यताएँ
लंबाई दूरी बताती है, क्षेत्रफल सतह का फैलाव बताता है और आयतन त्रिविमीय स्थान में घिरी जगह बताता है। इसलिए इनकी इकाइयों के रूपांतरण में अलग-अलग गुणक लगते हैं।
चूँकि 1 m = 100 cm है, इसलिए 1 m भुजा वाले वर्ग में 1 cm² क्षेत्रफल के 100 × 100 = 10,000 छोटे वर्ग समाते हैं। अतः 1 m² = 10,000 cm², न कि 100 cm²।
1 m भुजा वाले घन में 1 cm³ आयतन के 100 × 100 × 100 = 1,000,000 छोटे घन समाते हैं। अतः 1 m³ = 1,000,000 cm³।
सामान्यतः, यदि लंबाई की एक बड़ी इकाई में k छोटी इकाइयाँ हों, तो लंबाई के लिए k, क्षेत्रफल के लिए k² और आयतन के लिए k³ से गुणा करें। उलटा रूपांतरण करने के लिए भाग देना होगा। गुणक चुनने से पहले पहचानें कि प्रश्न में किस प्रकार की राशि है।
कुछ सटीक संबंध हैं: 1 km = 1,000 m; 1 cm = 10 mm; 1 हेक्टेयर = 10,000 m²; 1 L = 1,000 cm³; 1 mL = 1 cm³। इसलिए 1 m³ = 1,000 L। धारिता किसी पात्र का उपयोग योग्य आंतरिक आयतन बताती है; लीटर द्रव्यमान की इकाई नहीं है।
लंबाइयाँ जोड़ने या क्षेत्रफल और आयतन निकालने से पहले सभी माप एक संगत इकाई में बदलें। इकाइयों के संबंध सटीक हैं, लेकिन किसी माप का रूपांतरण करने से उसकी सटीकता नहीं बढ़ती। अभ्यास में दिए गए आयामों को आदर्श मान मानें; यहाँ किसी उत्तर को निकटतम दशमलव मान में बदलने की आवश्यकता नहीं है।
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — लंबाइयाँ जोड़ना। एक रास्ते का पहला भाग 2.35 km और उसके बाद का भाग 480 m है। कुल लंबाई मीटर और किलोमीटर में निकालिए।
पहला भाग = 2.35 × 1,000 = 2,350 m। कुल लंबाई = 2,350 + 480 = 2,830 m। वापस किलोमीटर में: 2,830 ÷ 1,000 = 2.83 km।
उदाहरण 2 — क्षेत्रफल का रूपांतरण। एक आयताकार चटाई की लंबाई 1.8 m और चौड़ाई 75 cm है। उसका क्षेत्रफल m² और cm² में निकालिए।
चौड़ाई = 75/100 = 0.75 m। क्षेत्रफल = 1.8 × 0.75 = 1.35 m²। cm² में क्षेत्रफल = 1.35 × 10,000 = 13,500 cm²। सेंटीमीटर में जाँच: लंबाई = 180 cm; 180 × 75 = 13,500 cm²।
उदाहरण 3 — पात्र की धारिता। एक आयताकार टंकी के आंतरिक आयाम 80 cm × 50 cm × 45 cm हैं। उसकी पूरी धारिता लीटर और m³ में निकालिए।
आंतरिक आयतन = 80 × 50 × 45 = 180,000 cm³। धारिता = 180,000/1,000 = 180 L। आयतन = 180,000/1,000,000 = 0.18 m³। ये आंतरिक आयाम हैं, इसलिए दीवारों की मोटाई नहीं घटाई जाएगी।
आम गलतियाँ
क्षेत्रफल या आयतन के लिए लंबाई वाला गुणक लगाना; अलग-अलग लंबाई इकाइयों को बदले बिना गुणा करना; m² और m³ में भ्रम करना; घनत्व की जानकारी के बिना लीटर को किलोग्राम मान लेना।
अभ्यास प्रश्न
- 0.72 km + 850 cm को मीटर में व्यक्त कीजिए।
- 3.6 m² को cm² में और 85,000 mm² को cm² में बदलिए।
- 0.045 m³ को लीटर और cm³ में बदलिए।
- 0.84 हेक्टेयर के एक भूखंड को पूरी तरह 350 m² के बराबर भूखंडों में बाँटा जाता है। रास्तों के लिए कोई भूमि नहीं छोड़ी जाती। कितने भूखंड बनेंगे?
चरणबद्ध हल
- 0.72 km = 720 m; 850 cm = 8.5 m। कुल लंबाई = 720 + 8.5 = 728.5 m।
- 3.6 × 10,000 = 36,000 cm²। चूँकि 1 cm² = 100 mm² है, इसलिए 85,000/100 = 850 cm²।
- लीटर में = 0.045 × 1,000 = 45 L। घन सेंटीमीटर में = 0.045 × 1,000,000 = 45,000 cm³।
- कुल क्षेत्रफल = 0.84 × 10,000 = 8,400 m²। भूखंडों की संख्या = 8,400/350 = 24। एक क्षेत्रफल को दूसरे क्षेत्रफल से भाग देने के कारण इकाइयाँ कट जाती हैं।