औसत, भारित माध्य और मिश्रण

औसत कुल योग को संख्या से भाग देने पर मिलता है

माध्य = प्रेक्षणों का योग / प्रेक्षणों की संख्या। गणना के बीच के चरण में कुल योग अक्सर सबसे उपयोगी मात्रा होता है। यदि 8 लोगों का औसत स्कोर 45 है, तो उनके स्कोर का कुल योग 360 है।

कोई मान जोड़ना या बदलना

यदि 63 का नौवाँ स्कोर जोड़ा जाए, तो नया माध्य (360 + 63)/9 = 47 होगा। यदि मूल आठ स्कोरों में से 38 को 54 से बदल दिया जाए, तो कुल योग 16 बढ़ेगा और माध्य 16/8 = 2 बढ़कर 47 हो जाएगा।

भारित माध्य

समूह A में 20 विद्यार्थी हैं जिनका औसत 60 है; समूह B में 30 विद्यार्थी हैं जिनका औसत 80 है। संयुक्त माध्य = (20×60 + 30×80)/50 = 72। (60+80)/2 = 70 लेना गलत होगा, क्योंकि इससे अलग-अलग आकार के समूहों को बराबर भार मिल जाएगा। धनात्मक भारों वाला संयुक्त माध्य समूहों के माध्यों के बीच रहता है। इस सीमा से बाहर का परिणाम गणना या व्याख्या में गलती का संकेत देता है।

मिश्रण का उदाहरण

इस पाठ की सभी मिश्रण संबंधी गणनाओं में सांद्रता आयतन के आधार पर प्रतिशत में दी गई है। मानें कि आयतन जोड़ने पर कुल आयतन मिलता है और विलेय की कुल मात्रा नहीं बदलती। 20% सांद्रता वाले 2 लीटर विलयन को 40% सांद्रता वाले 3 लीटर विलयन के साथ मिलाएँ। विलेय की मात्रा = 0.4 + 1.2 = 1.6 लीटर; कुल आयतन = 5 लीटर; सांद्रता = 32%। साधारण औसत 30% गलत है, क्योंकि दोनों आयतन अलग हैं।

20% और 50% सांद्रता वाले विलयनों से 30% सांद्रता पाने के लिए उनकी मात्राएँ x और y मानें। तब 0.20x + 0.50y = 0.30(x+y), इसलिए x = 2y। आवश्यक अनुपात 2:1 है। कम सांद्रता वाले विलयन की मात्रा अधिक होनी चाहिए, क्योंकि 30, 50 की तुलना में 20 के अधिक निकट है।

औसत चाल में सावधानी

अलग-अलग धनात्मक चालों से समान दूरियाँ तय करने पर औसत चाल, उन चालों का अंकगणितीय माध्य नहीं होती। 60 किमी की दूरी 30 किमी/घंटा की चाल से और 60 किमी की दूरी 60 किमी/घंटा की चाल से तय करने में 2 + 1 = 3 घंटे लगते हैं। औसत चाल = 120/3 = 40 किमी/घंटा। समान समय-अंतरालों के लिए अंकगणितीय माध्य सही रहता है।

अभ्यास

1. 5 संख्याओं का माध्य 18 है। उनमें से 10 हटा देने पर माध्य क्या होगा? (90−10)/4 = 20।
2. दस स्कोरों का औसत 25 है; पंद्रह स्कोरों का औसत 35 है। संयुक्त माध्य क्या होगा? 775/25 = 31।
3. 12 मानों के एक समूह का माध्य 40 है। एक मान में 24 की वृद्धि होती है। नया माध्य क्या होगा? 42।
4. 10% और 30% सांद्रता वाले विलयनों के बराबर आयतन मिलाने पर क्या सांद्रता मिलेगी? 20%, यह मानते हुए कि आयतन जोड़ने पर कुल आयतन मिलता है।

आम गलतियाँ

भारों का ध्यान रखे बिना औसतों का औसत निकालना; कोई मान जोड़ने पर प्रेक्षणों की संख्या बदलना भूल जाना; औसत चाल और दो चालों के औसत को एक समझ लेना; प्रतिशत इकाइयों और वास्तविक मात्राओं को मिला देना। सरल करने से पहले कुल योग और इकाइयाँ लिखें।