सीसैट मिश्रित अभ्यास: कार्य की दरें और प्रायिकता

कार्य की दरें

एक पूरे कार्य को 1 इकाई मानें। यदि A अकेले उसे 12 दिनों में पूरा करता है, तो A की दर 1/12 कार्य प्रतिदिन है। यदि B को 18 दिन लगते हैं, तो B की दर 1/18 कार्य प्रतिदिन है। यदि दोनों पूरा कार्य एक साथ शुरू करें और एक-दूसरे की गति को प्रभावित किए बिना इन्हीं स्थिर दरों से काम करें, तो उनकी संयुक्त दर 1/12 + 1/18 = 5/36 कार्य प्रतिदिन होगी। समय = कार्य / दर = 1 ÷ (5/36) = 36/5 = 7.2 दिन। पूरा करने के समय जोड़े नहीं जाते, क्योंकि बीते हुए उसी समय में दोनों काम कर रहे होते हैं।

भरने वाले पाइप की दर धनात्मक और निकालने वाले पाइप की दर ऋणात्मक लें। जितना भाग भरना शेष है, उसे शुद्ध दर से तभी भाग दें जब वह दर धनात्मक हो और उस अवधि में स्थिर रहे। इस मॉडल में शून्य या ऋणात्मक शुद्ध दर से शुरू में खाली टंकी नहीं भरी जा सकती।

समान संभावना वाले परिणामों से प्रायिकता

समान संभावना वाले परिणामों के परिमित समुच्चय में प्रायिकता = अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल परिणामों की संख्या। एक निष्पक्ष पासे पर सम परिणाम 2, 4 और 6 हैं, इसलिए P(सम) = 3/6 = 1/2। यदि परिणामों की प्रायिकताएँ अलग-अलग हों, तो केवल संभावित परिणामों की गिनती करके यह सूत्र लागू नहीं किया जा सकता।

एक थैले में 3 लाल और 2 नीली गेंदें हैं। यदि हर बार बची हुई प्रत्येक गेंद के चुने जाने की संभावना समान हो, तो P(पहली बार लाल) = 3/5। वापस रखे बिना दो बार निकालने पर, पहली लाल गेंद के बाद 4 गेंदों में 2 लाल बचती हैं। इसलिए P(दोनों लाल) = (3/5)×(2/4) = 3/10। गेंद वापस रखकर मिलाने के बाद दूसरी बार स्वतंत्र रूप से और समान संभावना से चुनने पर, दूसरी लाल गेंद की प्रायिकता फिर 3/5 है; इससे (3/5)×(3/5) = 9/25 मिलता है। गेंद वापस रखने से संख्या पहले जैसी हो जाती है; स्वतंत्र चयन की बताई गई शर्त के कारण इस रूप में गुणा करना सही है।

कम-से-कम एक

एक निष्पक्ष सिक्के के दो स्वतंत्र उछालों में समान संभावना वाले क्रमबद्ध परिणाम HH, HT, TH और TT हैं, जहाँ H का अर्थ चित और T का अर्थ पट है। केवल TT में एक भी चित नहीं है। इसलिए P(कम-से-कम एक चित) = 1 − P(एक भी चित नहीं) = 1 − 1/4 = 3/4। पूरक घटना में ठीक वे परिणाम आते हैं जो पूछी गई घटना में नहीं आते।

मिश्रित प्रश्नों के हल

1. A अकेले 10 दिन और B अकेले 15 दिन लेता है। दोनों पूरा कार्य एक साथ शुरू करते हैं और उनकी स्थिर दरें जोड़ी जा सकती हैं। उनकी दर 1/10 + 1/15 = 1/6 कार्य प्रतिदिन है, इसलिए समय 1 ÷ (1/6) = 6 दिन है।
2. एक पाइप खाली टंकी को 8 घंटों में भरता है; दूसरा भरी टंकी को 12 घंटों में खाली करता है। शुरू में टंकी खाली है और दोनों पाइप एक साथ खोले जाते हैं। मानें कि निकालने के लिए पानी उपलब्ध होने पर बताई गई दरें स्थिर रहती हैं। शुद्ध दर = 1/8 − 1/12 = 1/24 टंकी प्रति घंटा। भरने का समय = 1 ÷ (1/24) = 24 घंटे। यह गणना स्थिर दरों का मॉडल है; इसमें जलस्तर के साथ बदलने वाली प्रवाह-दर नहीं ली गई है।
3. 1–10 अंकित कार्डों में से एक कार्ड समान संभावना से चुना जाता है। 3 के गुणज 3, 6 और 9 हैं। 10 कार्डों में 3 अनुकूल कार्ड हैं, इसलिए प्रायिकता 3/10 है।
4. दो स्वतंत्र निष्पक्ष पासे फेंके जाते हैं। योग 7 देने वाले क्रमबद्ध परिणाम (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) और (6,1) हैं। समान संभावना वाले 36 क्रमबद्ध परिणामों में ऐसे 6 परिणाम हैं, इसलिए प्रायिकता 6/36 = 1/6 है।
5. एक थैले में 3 लाल और 2 नीली गेंदें हैं। वापस रखे बिना दो गेंदें निकाली जाती हैं और हर बार बची हुई गेंदों में से चयन समान संभावना से होता है। प्रत्येक रंग की एक गेंद मिलने के दो क्रम हैं: पहले लाल फिर नीली, या पहले नीली फिर लाल। एक ही दो-गेंद परिणाम में ये दोनों क्रम एक साथ नहीं हो सकते, इसलिए उनकी प्रायिकताएँ जोड़ें: (3/5×2/4)+(2/5×3/4) = 3/10 + 3/10 = 3/5।

जब एक व्यक्ति काम छोड़ दे

A अकेले एक कार्य 12 दिनों में और B 18 दिनों में पूरा करता है। दोनों 3 दिन काम करते हैं, फिर A छोड़ देता है। मानें कि उनकी दरें स्थिर रहती हैं और साथ काम करने पर जुड़ती हैं। पूरा किया गया कार्य = 3×(1/12 + 1/18) = 5/12। शेष कार्य = 1 − 5/12 = 7/12। B को (7/12) ÷ (1/18) = 10.5 दिन और चाहिए। कुल बीता समय = 3 + 10.5 = 13.5 दिन। शेष कार्य के लिए पुरानी संयुक्त दर लेना गलत होगा, क्योंकि अब केवल B काम कर रहा है।

एक साथ घट सकने वाली घटनाएँ

एक निष्पक्ष पासे पर सम संख्या या 3 का गुणज आने की प्रायिकता निकालें। सम संख्याओं का समुच्चय {2,4,6} है; 3 के गुणजों का समुच्चय {3,6} है। 3/6 + 2/6 जोड़ने पर 6 दो बार गिना जाता है। इस साझा परिणाम की प्रायिकता एक बार घटाएँ: P(सम या 3 का गुणज) = 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3। दोनों समुच्चयों का सम्मिलन {2,3,4,6} है, जिससे उत्तर सीधे भी पुष्ट होता है। सामान्य रूप में, P(A या B) = P(A) + P(B) − P(A और B)।