न्यायवाक्य, आवश्यक शर्तें और प्रतिउदाहरण

निर्णय से पहले कथन का अर्थ स्पष्ट करें

“सभी A, B हैं” का अर्थ है कि हर A, B के भीतर आता है। इसका अर्थ यह नहीं कि सभी B, A हैं। “कुछ A, B हैं” कम-से-कम एक साझा सदस्य के अस्तित्व का दावा करता है। “कोई A, B नहीं है” का अर्थ है कि दोनों समुच्चयों का कोई सदस्य साझा नहीं है।

केवल दी गई जानकारी का उपयोग करें। तर्क की मानक व्याख्या में कोई सार्वत्रिक कथन अपने-आप यह दावा नहीं करता कि उस समुच्चय में सदस्य मौजूद हैं। यदि परीक्षा किसी अलग परिपाटी का निर्देश दे, तो उसी निर्देश का पालन करें।

न्यायवाक्य का हल किया गया उदाहरण

कथन: सभी शोधकर्ता पाठक हैं। कुछ पाठक कलाकार हैं। निष्कर्ष 1: कुछ शोधकर्ता कलाकार हैं। यह आवश्यक नहीं है: जो पाठक कलाकार हैं, वे सभी शोधकर्ताओं के समुच्चय से बाहर हो सकते हैं। निष्कर्ष 2: सभी शोधकर्ता पाठक हैं। यह सीधे निकलता है। अनुमान से बनाए आरेख की तुलना में एक स्पष्ट प्रतिउदाहरण अधिक ठोस है: कल्पना करें कि दो शोधकर्ता हैं जो कलाकार नहीं हैं और एक तीसरा पाठक है जो कलाकार है। दोनों कथन सही रहते हैं, लेकिन निष्कर्ष 1 गलत हो जाता है।

आवश्यक और पर्याप्त शर्तें

“यदि P, तो Q” का अर्थ है कि Q के लिए P पर्याप्त शर्त है और P के लिए Q आवश्यक शर्त है। इससे “यदि Q, तो P” स्थापित नहीं होता। इसका प्रतिधनात्मक कथन (contrapositive), “यदि Q नहीं, तो P नहीं”, तार्किक रूप से समतुल्य है। उदाहरण: हर स्वीकृत आवेदन का सत्यापन रिकॉर्ड होता है। यदि किसी विशेष आवेदन का सत्यापन रिकॉर्ड नहीं है, तो इस नियम के अनुसार उसे स्वीकृत नहीं किया जा सकता। केवल रिकॉर्ड होने से स्वीकृति सिद्ध नहीं होती।

क्रम-निर्धारण का हल किया गया प्रश्न

P, Q से पहले है; R, Q के बाद है; S, P से पहले है। यदि केवल यही चार व्यक्ति हैं, तो क्रम S, P, Q, R ही होगा। यदि पाँचवाँ व्यक्ति T जोड़ दिया जाए और उसके लिए कोई शर्त न दी जाए, तो T का स्थान निश्चित नहीं होगा। बिना बताए यह न मान लें कि सूची पूरी है।

व्याख्या सहित अभ्यास

1. सभी गुलाब फूल हैं। कुछ फूल जल्दी मुरझाते हैं। क्या कुछ गुलाबों का जल्दी मुरझाना अवश्य निकलता है? नहीं; जल्दी मुरझाने वाले फूलों में गुलाब हों, यह आवश्यक नहीं है।
2. कुछ पुस्तकें मार्गदर्शिकाएँ हैं। कोई मार्गदर्शिका उपन्यास नहीं है। क्या यह अवश्य निकलता है कि कुछ पुस्तकें उपन्यास नहीं हैं? हाँ; जो पुस्तकें मार्गदर्शिकाएँ हैं, वे उपन्यास नहीं हो सकतीं।
3. यदि कोई संख्या 4 से विभाज्य है, तो वह सम है। क्या हर सम संख्या 4 से विभाज्य है? नहीं; 6 इसका प्रतिउदाहरण है।
4. A, B से लंबा है; B, C से लंबा है। क्या A, C से लंबा है? हाँ, क्योंकि यह संबंध संक्रामक है।

आम गलतियाँ

“सभी” वाले कथनों को उलट देना, वास्तविक दुनिया की मान्यताएँ जोड़ देना, समर्थन के बिना अस्तित्व मान लेना, “सही हो सकता है” को “सही होना ही चाहिए” समझ लेना या क्रम के बारे में कोई अनकही शर्त जोड़ देना आम गलतियाँ हैं।

पुनरावृत्ति का तरीका

जिस निष्कर्ष पर संदेह हो, उसके लिए ऐसी एक स्थिति बनाने का प्रयास करें जिसमें दिए गए कथन सही रहें, लेकिन निष्कर्ष गलत हो। यदि ऐसी स्थिति मिल जाए, तो निष्कर्ष अनिवार्य नहीं है। यदि न मिले, तो केवल यह मानकर न चलें कि आप कोई प्रतिउदाहरण सोच नहीं पाए इसलिए निष्कर्ष सही होगा; उसे आधार-वाक्यों से सिद्ध करें।