भिन्न: अर्थ, तुलना और जोड़
सवाल सीधे शब्दों में: 1/4 जैसी भिन्न (fraction) का मतलब क्या है? दो भिन्नों में बड़ी कौन है, यह कैसे पहचानें? एक जैसे हर (denominator) वाली भिन्नों को कैसे जोड़ें?
इस पाठ के बाद आप:
- भिन्न पढ़ और लिख सकेंगे
- उसका अंश (numerator) और हर (denominator) बता सकेंगे
- एक जैसे हर वाली, या एक जैसे अंश वाली दो भिन्नों की तुलना कर सकेंगे
- तुल्य भिन्न (equivalent fractions) बना सकेंगे
- एक जैसे हर वाली भिन्नों को जोड़ सकेंगे
1. कहानी: दोपहर में माँ की रोटी
राधा टोंक के पास एक गाँव में रहती है। दोपहर के खाने पर माँ के पास एक गरम रोटी बची है, और चार बच्चे इंतज़ार कर रहे हैं: राधा, गोपाल, मीना और छोटा कान्हा।
माँ रोटी को मोड़कर 4 बराबर टुकड़ों में तोड़ती हैं। हर बच्चे को एक टुकड़ा मिलता है।
माँ कहती हैं, "तुम सबको रोटी का एक चौथाई हिस्सा मिला।"
अगले दिन गोपाल नानी के घर गया है। अब तीन ही बच्चे हैं। माँ वैसी ही रोटी को 3 बराबर टुकड़ों में तोड़ती हैं।
कान्हा पूछता है, "आज हम कम हैं। मेरा टुकड़ा कल से बड़ा है या छोटा?"
कान्हा का यह सवाल याद रखिए। पाठ के अंत तक आप इसका जवाब पूरे भरोसे से दे सकेंगे।
2. पहला कदम: भिन्न क्या है?
- भिन्न (fraction) किसी पूरी चीज़ का एक हिस्सा है, जब पूरी चीज़ को बराबर भागों में बाँटा गया हो।
- रोटी के 4 बराबर भाग किए। उनमें से एक भाग रोटी का 1/4 है।
- 1/4 को "एक बटा चार" या "एक चौथाई" (one fourth) पढ़ते हैं।
- उन्हीं में से 3 भाग लें, तो रोटी का 3/4 मिलता है ("तीन चौथाई")।
3. दूसरा कदम: अंश और हर
- हर भिन्न में ऊपर एक संख्या, बीच में एक रेखा, और नीचे एक संख्या होती है।
- रेखा के नीचे वाली संख्या हर (denominator) है। यह बताती है कि पूरी चीज़ के कितने बराबर भाग किए गए।
- रेखा के ऊपर वाली संख्या अंश (numerator) है। यह बताती है कि उनमें से कितने भाग लिए गए।
- 3/4 में: अंश = 3, हर = 4।
भिन्न पढ़ें: 3/4
- अंश (numerator)
- 3 लिए गए भाग
- हर (denominator)
- 4 पूरी चीज़ के कुल बराबर भाग
हर कभी 0 नहीं होता।
4. तीसरा कदम: भाग बराबर होने चाहिए
- भिन्न तभी बनती है जब सारे भाग बराबर हों।
- अगर रोटी 4 छोटे-बड़े टुकड़ों में टूट जाए, तो एक टुकड़ा रोटी का 1/4 नहीं है।
- खेत का उदाहरण: बापू अपना खेत 3 बेटों में बराबर बाँटते हैं। हर बेटे को खेत का 1/3 मिलता है।
- अगर किसी एक बेटे को बड़ा टुकड़ा मिले, तो वे भाग तिहाई (1/3) नहीं रहते।
5. चौथा कदम: एक जैसे हर वाली भिन्नों की तुलना
- 2/5 और 3/5 का हर एक ही है: 5।
- यानी दोनों में पूरी चीज़ के 5 बराबर भाग हैं। हर भाग का आकार एक जैसा है।
- 3 भाग, 2 भागों से ज़्यादा हैं। इसलिए 3/5 > 2/5।
- नियम: हर एक जैसे हों → जिसका अंश बड़ा, वह भिन्न बड़ी।
6. पाँचवाँ कदम: एक जैसे अंश वाली भिन्नों की तुलना
- फिर से कान्हा। कल उसे रोटी का 1/4 मिला था। आज 1/3 मिला।
- दोनों भिन्नों का अंश एक ही है: 1। अब हर देखिए।
- रोटी 4 की जगह 3 में बँटे, तो हर टुकड़ा बड़ा होता है।
- इसलिए 1/3 > 1/4। आज कान्हा का टुकड़ा बड़ा है।
- नियम: अंश एक जैसे हों → जिसका हर छोटा, वह भिन्न बड़ी।
- इसलिए 1/2 > 1/3 > 1/4 > 1/5।
7. छठा कदम: तुल्य भिन्न
- आधी रोटी उतनी ही है जितने 2 चौथाई, और उतनी ही जितने 4 आठवें भाग।
- इसलिए 1/2 = 2/4 = 4/8। ये तुल्य भिन्न (equivalent fractions) हैं: नाम अलग, मात्रा एक।
- कैसे बनाएँ: अंश और हर, दोनों को एक ही संख्या से गुणा करें।
- 1/2 = (1 × 2)/(2 × 2) = 2/4
- 1/2 = (1 × 4)/(2 × 4) = 4/8
- दोनों को एक ही संख्या से भाग भी दे सकते हैं: 6/8 = (6 ÷ 2)/(8 ÷ 2) = 3/4।
- सिर्फ़ एक संख्या बदलें, तो मात्रा बदल जाती है।
8. सातवाँ कदम: एक जैसे हर वाली भिन्नों का जोड़
- माँ राधा को रोटी का 1/4 देती हैं, फिर 2/4 और देती हैं।
- सारे टुकड़े चौथाई हैं, इसलिए टुकड़े का आकार नहीं बदलता। 1 चौथाई + 2 चौथाई = 3 चौथाई।
- इसलिए 1/4 + 2/4 = 3/4।
- नियम: अंशों को जोड़ें। हर वही रखें।
प्रश्न
रामू सुबह अपने खेत का 2/7 भाग जोतता है और शाम को 3/7 भाग। उसने कुल कितना खेत जोता?
हल
- हर एक जैसे हैं (7), इसलिए भाग एक ही आकार के हैं।
- अंश जोड़ें: 2 + 3 = 5।
- हर वही रखें: 7।
उत्तर: खेत का 5/7 भाग।
ध्यान दें: 2/7 + 3/7 का उत्तर 5/14 नहीं है। हर को नहीं जोड़ते।
- अगर जोड़ में अंश और हर बराबर हो जाएँ, तो वह एक पूरा है: 2/5 + 3/5 = 5/5 = 1।
- एक जैसे हर वाली भिन्नों का घटाना भी ऐसे ही होता है: 5/7 − 2/7 = 3/7।
9. आसान तरीके (समझने के बाद)
हर एक जैसे: सिर्फ़ अंश देखें। बड़ा अंश, बड़ी भिन्न। अंश एक जैसे: सिर्फ़ हर देखें। छोटा हर, बड़ी भिन्न: कम बाँटने वाले, बड़ा हिस्सा। बराबर हैं या नहीं? a/b और c/d बराबर हैं जब a × d = b × c। उदाहरण: 2/4 और 3/6 → 2 × 6 = 12 और 4 × 3 = 12, इसलिए बराबर हैं। एक जैसे हर का जोड़: ऊपर वाले जोड़ो, नीचे वाला वही रखो। एक पूरा: जब अंश और हर बराबर हों, तो भिन्न 1 होती है (4/4 = 1)।
10. छोटी जाँच
इनमें से सबसे बड़ी भिन्न कौन-सी है?
उत्तर देखें
सही उत्तर: A
चारों का अंश एक ही है: 1। हर जितना छोटा, हर भाग उतना बड़ा। सबसे छोटा हर 2 है, इसलिए 1/2 सबसे बड़ी है।
विकल्प B: 1/3, 1/2 से छोटी है: 3 में बँटी रोटी के टुकड़े, 2 में बँटी रोटी से छोटे होते हैं।
विकल्प C: 1/5 और भी छोटी है: रोटी 5 भागों में बँटी है।
विकल्प D: 1/6 चारों में सबसे छोटी है: 6 सबसे बड़ा हर है।
संकेत: कम बाँटने वाले, बड़ा हिस्सा।
2/9 + 5/9 = ?
उत्तर देखें
सही उत्तर: B
हर एक जैसे हैं। अंश जोड़ें (2 + 5 = 7) और हर 9 ही रखें। उत्तर 7/9 है।
विकल्प A: इसमें हर भी जोड़ दिए गए (9 + 9 = 18)। भागों का आकार नहीं बदलता।
विकल्प C: इसमें अंशों को जोड़ने की जगह गुणा कर दिया गया (2 × 5 = 10)।
विकल्प D: इसमें अंशों को जोड़ने की जगह घटा दिया गया (5 − 2 = 3)।
संकेत: ऊपर वाले जोड़ो, नीचे वाला वही रखो।
इनमें से कौन-सी भिन्न 3/4 के तुल्य (equivalent) है?
उत्तर देखें
सही उत्तर: A
अंश और हर दोनों को 2 से गुणा करें: (3 × 2)/(4 × 2) = 6/8।
विकल्प B: दोनों संख्याओं में 1 जोड़ने से मात्रा वही नहीं रहती। 4/5, 3/4 से बड़ी है।
विकल्प C: सिर्फ़ हर बदला गया। 3/8, 3/4 का आधा है।
विकल्प D: सिर्फ़ अंश बदला गया। 6/4 एक पूरे से भी ज़्यादा है।
संकेत: दोनों संख्याओं को एक ही संख्या से गुणा करें।
एक खेत 6 बराबर भागों में बँटा है। 1 भाग में गेहूँ और 3 भागों में सरसों बोई गई है। खेत का कितना भाग बोया गया है?
उत्तर देखें
सही उत्तर: B
1/6 + 3/6 = 4/6। भाग एक ही आकार के हैं, इसलिए अंश जोड़ें और हर 6 ही रखें। (4/6 वही है जो 2/3 है।)
विकल्प A: इसमें हर भी जोड़ दिए गए (6 + 6 = 12)।
विकल्प C: 3/6 सिर्फ़ सरसों वाला भाग है।
विकल्प D: 1/6 सिर्फ़ गेहूँ वाला भाग है।
संकेत: 6 में से बोए गए भाग गिनें।
कक्षा 3 का एक बच्चा लिखता है, "1/4 बड़ा है 1/3 से, क्योंकि 4 बड़ा है 3 से।" शिक्षक को सबसे पहले क्या करना चाहिए?
उत्तर देखें
सही उत्तर: B
बच्चा अपनी आँखों से देखता है कि 3 में बँटी रोटी के टुकड़े बड़े होते हैं। सीखना ठोस चीज़ों से चिह्न (symbol) की ओर बढ़ता है, और गलती से ही सिखाया जाता है।
विकल्प A: बिना समझे रटा नियम जल्दी भूल जाता है या गलत जगह लगता है।
विकल्प C: और सवाल देने से गलत धारणा नहीं बदलती; बच्चा वही गलती दोहरा सकता है।
विकल्प D: सिर्फ़ गलत का निशान लगाने से बच्चे को पता नहीं चलता कि उसकी सोच गलत क्यों है।
संकेत: ठोस से अमूर्त की ओर (concrete to abstract)।
"1/4 बड़ा है 1/3 से, क्योंकि 4 बड़ा है 3 से।" नहीं। हर बताता है कि पूरी चीज़ के कितने भाग हुए। ज़्यादा भाग यानी छोटे भाग। इसलिए 1/3 > 1/4। "1/4 + 2/4 = 3/8।" नहीं। हर को नहीं जोड़ते। भाग अब भी चौथाई ही हैं, इसलिए उत्तर 3/4 है। "रोटी के कोई भी 4 टुकड़े चौथाई होते हैं।" नहीं। सिर्फ़ बराबर टुकड़े ही चौथाई होते हैं।
असली चीज़ों से शुरू करें: कागज़ की रोटियाँ, बराबर भागों में मोड़ा गया कागज़, या 12 कंकड़ों का बराबर बँटवारा। पहले मोड़ें, फिर लिखें: बच्चे कागज़ को 4 बराबर भागों में मोड़ें, एक भाग रंगें, और उसके बाद ही 1/4 लिखें। रखकर तुलना करें: एक ही आकार की रोटियों से कटे 1/3 टुकड़े को 1/4 टुकड़े के ऊपर रखें; बच्चे खुद देखें कि कौन बड़ा है। गलती का उपयोग करें: जब बच्चा कहे "1/4 बड़ा है 1/3 से", तो सिर्फ़ गलत न कहें; उसे कागज़ के टुकड़ों से जाँचने को कहें। सबको शामिल करें: कम देख पाने वाले बच्चे को मोटे गत्ते की रोटी दें, जिसमें भागों के बीच उभरी रेखाएँ हों, ताकि वह छूकर समझ सके।
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