तार्किक निष्कर्ष: समुच्चय, परिमाणक और प्रतिउदाहरण

दायरा और तरीका

यह GATE की विश्लेषणात्मक अभिक्षमता में निगमनात्मक तर्क का मौलिक खंडीय अभ्यास है, आधिकारिक प्रश्नपत्र या संपूर्ण GA मॉक नहीं। परीक्षा अंग्रेज़ी में होती है; हिंदी सीखने की सहायता है। आधिकारिक पाठ्यक्रम · परीक्षा की भाषा

कोई निष्कर्ष तभी अनिवार्यतः निकलता है जब आधार कथनों को सत्य बनाने वाली हर स्थिति में वह सत्य हो। कथनों को दिया हुआ मानें। सामान्य जानकारी से कोई अतिरिक्त संबंध न जोड़ें। यदि एक भी स्थिति में आधार सत्य और निष्कर्ष असत्य हों, तो तर्क अवैध है। OpenStax: निष्कर्ष

निर्णय से पहले कथन समझें

“सभी A, B हैं” का अर्थ है A का प्रत्येक सदस्य B में है; इसका उलटा अपने आप सत्य नहीं होता। “कोई A, B नहीं है” में दोनों का प्रतिच्छेद रिक्त है। “कुछ A, B हैं” कम-से-कम एक साझा सदस्य बताता है; “कुछ” का अर्थ ठीक एक नहीं है।

अलग से अस्तित्व न बताया जाए तो वर्ग रिक्त हो सकता है। केवल सार्विक कथन से सदस्य होने का प्रमाण नहीं मिलता। “सभी A, B हैं” का निषेध है “कुछ A, B नहीं हैं”, न कि “कोई A, B नहीं है”। Stanford: तर्कशास्त्र

हल किया उदाहरण 1: श्रृंखला और निषेध

कथन: सभी प्रमाणित सेंसर जाँचे गए हैं; कोई जाँचा गया सेंसर अस्वीकृत नहीं है। प्रमाणित समूह, जाँचे गए समूह के भीतर है और उसका अस्वीकृत समूह से कोई साझा सदस्य नहीं है। इसलिए कोई प्रमाणित सेंसर अस्वीकृत नहीं है। प्रमाणित समूह रिक्त हो तब भी निष्कर्ष मान्य है। “कुछ प्रमाणित सेंसर स्वीकृत हैं” नहीं निकलता, क्योंकि अस्तित्व और स्वीकृति नहीं बताए गए।

हल किया उदाहरण 2: प्रतिउदाहरण बनाएँ

कथन: सभी A, B हैं; कुछ B, C हैं। प्रस्तावित निष्कर्ष: कुछ A, C हैं। A = {1}, B = {1,2}, C = {2} लें। दोनों कथन सत्य हैं, लेकिन A और C में कोई साझा सदस्य नहीं। अतः निष्कर्ष अनिवार्य नहीं है। साझा भाग दिखाने वाला एक चित्र केवल संभावना दिखाएगा, अनिवार्यता नहीं।

हल किया उदाहरण 3: निश्चित सदस्य का उपयोग

कथन: हर लाल पार्सल पंजीकृत है; कुछ लाल पार्सल नाज़ुक हैं। दूसरे कथन से निश्चित एक लाल और नाज़ुक पार्सल चुनें। पहला कथन उसे पंजीकृत भी बनाता है। इसलिए कुछ पंजीकृत पार्सल नाज़ुक हैं। इससे हर पंजीकृत पार्सल का नाज़ुक होना सिद्ध नहीं होता। पूरी श्रृंखला में उसी सदस्य पर विचार करें।

समाधान की नियमित विधि

समूह लिखें, परिमाणक समझें, निश्चित सदस्यों को चिह्नित करें और निष्कर्ष जाँचें। अलग-अलग अस्तित्व वाले कथनों के सदस्यों को बिना आधार एक न मानें। हर निहितार्थ की दिशा देखें। P से Q निकलने पर केवल Q जानकर P नहीं निकाल सकते। Cornell: तर्क

स्वयं जाँचें

1. सभी A, B हैं। क्या A में सदस्य होना आवश्यक है? नहीं। रिक्त A भी कथन संतुष्ट करता है।
2. “हर बैज नीला है” का निषेध? कम-से-कम एक बैज नीला नहीं है। एक अपवाद पर्याप्त है।
3. अलार्म बजने पर बत्ती जलती है। बत्ती जल रही है। क्या अलार्म आवश्यकतः बजा? नहीं। कथन बत्ती के किसी अन्य कारण से जलने की संभावना नहीं रोकता।