प्रतिशत: भाग, पूरी मात्रा और तुलना का आधार

प्रतिशत किस मात्रा का निकाला जा रहा है?

दो रिपोर्टों में त्रुटियों की संख्या समान हो सकती है, फिर भी स्थिति बहुत अलग हो सकती है। यह जानना भी ज़रूरी है कि कुल कितने मामलों में त्रुटि होने की संभावना थी। प्रतिशत इसी तुलना को बताता है, लेकिन तभी जब उसका आधार स्पष्ट हो।

इस पाठ में आप आधार पहचानना, भिन्न–दशमलव–प्रतिशत के बीच रूपांतरण करना, अज्ञात भाग या पूरी मात्रा निकालना, सही शुरुआती मात्रा के आधार पर प्रतिशत परिवर्तन निकालना और अनुमान से उत्तर जाँचना सीखेंगे। साथ ही, आप पहचानेंगे कि कब दी गई जानकारी से निश्चित उत्तर नहीं निकलता।

इसके लिए गुणा, भाग, साधारण भिन्न और दशमलव के स्थान-मूल्य का ज्ञान चाहिए। तैयारी जाँचें: 20 का एक-चौथाई 5 है; 0.2 = 1/5 है; 1.4 km = 1400 m है। इनमें कठिनाई हो तो आगे बढ़ने से पहले संबंधित संक्रिया दोहराएँ।

1. पहले तय करें कि 100% क्या है

प्रतिशत का अर्थ है “प्रति सौ”। 7% की दर का अर्थ 7/100 का अनुपात है। इसका अर्थ सात वस्तुएँ तभी होगा जब पूरी मात्रा में 100 वस्तुएँ हों।

तीन राशियों को अलग पहचानें:

• B, आधार या पूरी मात्रा: वह मात्रा जिसे 100% माना जा रहा है
• A, तुलना की जा रही मात्रा या भाग: दिए गए प्रतिशत के बराबर मात्रा
• p, प्रतिशत की संख्या: 7% के लिए p = 7 है और दशमलव दर p/100 = 0.07 है

इनका संबंध है:

A = B × p/100

किसी मात्रा को बिना इकाई वाली दर से गुणा करने पर उस मात्रा की इकाई बनी रहती है। B लीटर में है तो A भी लीटर में होगा। दो लंबाइयों की तुलना से प्रतिशत निकालना हो, तो भाग देने से पहले दोनों को एक ही इकाई में लिखें।

किसी निश्चित पूरी मात्रा के साधारण भाग के लिए A का मान 0 से B के बीच होता है। लेकिन दो अलग मात्राओं की तुलना में प्रतिशत 100% से अधिक हो सकता है। नया उत्पादन पुराने उत्पादन का 125% हो सकता है, यानी पुराने आधार का 1.25 गुना। इससे यह निष्कर्ष नहीं निकलता कि किसी निश्चित समूह में उसके कुल सदस्यों से अधिक अलग-अलग सदस्य हैं।

शिक्षण पैनल 1: एक ही दर के तीन रूप

प्रतिशत	दशमलव दर	भिन्न
100%	1	1
50%	0.5	1/2
25%	0.25	1/4
12.5%	0.125	1/8
1%	0.01	1/100
0.5%	0.005	1/200
125%	1.25	5/4

प्रतिशत को दशमलव दर में बदलने के लिए उसकी संख्या को 100 से भाग दें। दशमलव दर को प्रतिशत में बदलने के लिए 100 से गुणा करें और प्रतिशत का चिह्न लगाएँ। ये दोनों प्रक्रियाएँ एक-दूसरे की उलटी हैं। ध्यान दें: 0.5 और 0.5% अलग हैं। 0.5 का अर्थ 50% है, जबकि 0.5% = 0.005 है।

मार्गदर्शित जाँच A। 0.045 को प्रतिशत में लिखें। 100 से गुणा करने पर 4.5% मिलेगा, 0.045% नहीं। उलटा जाँचें: 4.5/100 = 0.045।

2. संक्रिया चुनने से पहले अज्ञात राशि पहचानें

एक ही संबंध से तीन अलग प्रकार के प्रश्न हल होते हैं। याद किए हुए शॉर्टकट पर जाने के बजाय पहले लिखें कि कौन-सी राशियाँ दी गई हैं।

शिक्षण पैनल 2: आधार, भाग और दर का हिसाब

क्या निकालना है?	पहले संबंध लिखें	फिर गणना करें	शर्त
मात्रा A	A = B × p/100	आधार को दर से गुणा करें	आधार और दर दिए हों
प्रतिशत p	A/B = p/100	p = 100 × A/B	B शून्य न हो
पूरी मात्रा B	A = B × p/100	B = A ÷ (p/100)	p शून्य न हो

इस पाठ की धनात्मक राशियों में, पूरी मात्रा का 100% से कम भाग पूरी मात्रा से छोटा होगा। इसलिए उस भाग से पूरी मात्रा वापस निकालने पर उत्तर भाग से बड़ा आना चाहिए। यह उत्तर की दिशा जाँचने का तरीका है; इससे गणना की ज़रूरत समाप्त नहीं होती।

मार्गदर्शित जाँच B। 16 किसी अज्ञात पूरी मात्रा का 20% है। 20% = 1/5 होने के कारण पूरी मात्रा में 16 के पाँच बराबर हिस्से होंगे। अतः पूरी मात्रा 80 है। 16 को 0.2 से गुणा करने पर 3.2 मिलेगा, जो पहले से दिए भाग का एक-पाँचवाँ है।

शून्य होने पर भाग देने की सीमा

• प्रतिशत निकालते समय आधार शून्य नहीं हो सकता। “12, शून्य का कितना प्रतिशत है?” इस अनुपात वाले मॉडल में परिभाषित नहीं है।
• भाग और प्रतिशत से पूरी मात्रा निकालने के लिए दर शून्य नहीं होनी चाहिए। “0, पूरी मात्रा का 0% है” किसी भी पूरी मात्रा के लिए सही हो सकता है। इससे पूरी मात्रा का शून्य होना सिद्ध नहीं होता।
• किसी सीमित पूरी मात्रा का 0% कोई अशून्य मात्रा हो, तो कथन इस मॉडल से मेल नहीं खाता।
• केवल प्रतिशत से आपसी तुलना मिलती है, निश्चित संख्या नहीं। “60% लोग उपस्थित थे” से उपस्थित लोगों की संख्या तभी निकलेगी जब कुल संख्या भी मालूम हो।

मार्गदर्शित जाँच C। किसी खेप की 40% वस्तुएँ जाँच में उत्तीर्ण हुईं, लेकिन खेप में कुल वस्तुओं की संख्या नहीं दी गई। यदि हर वस्तु ठीक एक श्रेणी में आती है, उत्तीर्ण या अनुत्तीर्ण, तो शेष 60% अनुत्तीर्ण हैं। पर किसी भी श्रेणी की संख्या निश्चित नहीं है। 50 और 500 वस्तुओं वाली खेपों में प्रतिशत समान होने पर भी संख्याएँ अलग होंगी।

3. परिवर्तन की तुलना शुरुआती मात्रा से होती है

पुराने मान O से नए मान N तक परिवर्तन के लिए:

मात्रा में परिवर्तन = N − O

प्रतिशत परिवर्तन = (N − O)/O × 100%, बशर्ते O ≠ 0

यहाँ लिए गए धनात्मक शुरुआती मानों के लिए धनात्मक उत्तर बढ़ोतरी और ऋणात्मक उत्तर कमी बताता है। यदि प्रश्न प्रतिशत कमी पूछे, तो कमी का धनात्मक परिमाण लिखें: N < O होने पर (O − N)/O × 100%।

हर में शुरुआती मान आएगा। नए मान से भाग देने पर दूसरी तुलना मिलेगी। परिवर्तन को “नया मान, पुराने मान का कितना प्रतिशत है” से भी अलग रखें। नया मान पुराने का 110% हो, तो बढ़ोतरी 10% है।

शिक्षण पैनल 3: तुलना का आधार देखें

तुलना	अंश में क्या आएगा?	आधार
पुराने से नए तक परिवर्तन	नया − पुराना	पुराना
नया, पुराने का कितना प्रतिशत है?	नया	पुराना
पुराना, नए का कितना प्रतिशत है?	पुराना	नया

मार्गदर्शित जाँच D। कोई संख्या 100 से 110 होती है। परिवर्तन 10 है, इसलिए प्रतिशत बढ़ोतरी = 10/100 × 100% = 10%। नया मान पुराने का 110% है। दोनों कथन सही हैं, लेकिन वे अलग प्रश्नों का उत्तर देते हैं।

यदि पुरानी संख्या शून्य से बढ़कर धनात्मक हो जाए, तो संख्या में हुई बढ़ोतरी बताई जा सकती है। प्रतिशत-परिवर्तन के सूत्र में शून्य से भाग देना पड़ेगा। इस सूत्र से न कोई मनमाना सीमित प्रतिशत मिलेगा, न “अनंत प्रतिशत” लिखना सही होगा।

4. सटीक गणना से पहले अनुमान लगाएँ

अनुमान से दशमलव की गलत जगह या गलत संक्रिया पकड़ी जा सकती है। अनुमान को सटीक उत्तर की तरह प्रस्तुत न करें।

• पास का सुविधाजनक प्रतिशत या आधार चुनें।
• स्पष्ट रखें कि उत्तर अनुमानित है।
• यदि सही विकल्प एक संकरे अंतराल पर निर्भर है, तो यह मान लेने के बजाय सीमा सिद्ध करें कि पूर्णांकन से कोई फ़र्क नहीं पड़ेगा।
• गणना के बीच में पूरी सटीकता रखें। प्रश्न पूर्णांकन माँगे तभी अंतिम उत्तर को बताए गए दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करें।

दर धनात्मक हो, तो आधार की निचली और ऊपरी सीमा को उस दर से गुणा करने पर क्रम बना रहता है। उदाहरण के लिए, 200 < B < 210 हो, तो 20 < B का 10% < 21 होगा। यह इसलिए सही है क्योंकि 10% धनात्मक है। हल किए गए उदाहरण 6 में इसी तर्क से उत्तर का अंतराल निकालेंगे।

मार्गदर्शित जाँच E। 300 का 4%, 12 के पास होगा या 120 के? एक प्रतिशत 3 है, इसलिए चार प्रतिशत 12 है। 120 तो 300 का 40% होगा। यह सरल जाँच दस गुने की त्रुटि पकड़ लेती है।

5. छह हल किए गए उदाहरण

हल किया गया उदाहरण 1: मात्रा निकालना

एक कार्यशाला में 240 पुर्जे हैं। इनमें ठीक 17.5% एल्युमिनियम के हैं। एल्युमिनियम के कितने पुर्जे हैं?

पहचानें। पूरी मात्रा 240 पुर्जे है और दर 17.5/100 = 0.175 है।

गणना करें। A = 240 × 0.175 = 42 पुर्जे।

दूसरा तरीका समझें। 17.5% को 10% + 5% + 2.5% में बाँटें। इनके बराबर मात्राएँ 24 + 12 + 6 = 42 हैं। हर हिस्से के लिए पूरी मात्रा 240 ही ली गई है।

जाँचें। उत्तर पूरी मात्रा से कम और उसके 10% तथा 20% के बीच है। 240 को 17.5 से भाग देने पर 240 का दिया हुआ प्रतिशत नहीं निकलेगा।

हल किया गया उदाहरण 2: प्रतिशत दर निकालना

एक सेंसर 420 रीडिंग में से 63 को चिह्नित करता है। कितने प्रतिशत रीडिंग चिह्नित हैं?

पहचानें। तुलना की जा रही मात्रा 63 रीडिंग है। आधार कुल 420 रीडिंग हैं।

गणना करें। p = 100 × 63/420 = 100 × 3/20 = 15। अतः 15% रीडिंग चिह्नित हैं।

जाँचें। 420 का 10% = 42 और 5% = 21 है। दोनों का योग 63 है। 63 रीडिंग / 420 रीडिंग में इकाइयाँ कट जाती हैं। भिन्न उलट देने पर कुल रीडिंग की तुलना चिह्नित रीडिंग से होगी, जो अलग प्रश्न है।

हल किया गया उदाहरण 3: पूरी मात्रा वापस निकालना

एक पुस्तकालय ने सुबह 27 संदर्भ पुस्तकें जारी कीं। ये उस सुबह जारी की गई सभी पुस्तकों का 12.5% हैं। कुल कितनी पुस्तकें जारी की गईं?

पहचानें। भाग 27 है और 12.5% = पूरी मात्रा का 1/8 है।

गणना करें। B = 27 ÷ (1/8) = 27 × 8 = 216 पुस्तकें।

जाँचें। 216 का एक-आठवाँ 27 है। दिया हुआ भाग पूरी मात्रा का 100% से कम है, इसलिए पूरी मात्रा 27 से बड़ी होनी चाहिए। 27 × 0.125 करने पर भाग का एक और भाग निकलेगा, पूरी मात्रा नहीं।

हल किया गया उदाहरण 4: एक से कम प्रतिशत

3500 mm लंबाई वाली वस्तु के निर्माण में अनुमत विचलन उसकी लंबाई का 0.6% है। अनुमत विचलन मिलीमीटर में निकालें।

पहचानें। आधार 3500 mm है। दशमलव दर = 0.6/100 = 0.006 है।

गणना करें। अनुमत विचलन = 3500 × 0.006 = 21 mm।

जाँचें। 3500 mm का 1% = 35 mm है। 0.6%, 1% से कम है, इसलिए उत्तर 35 mm से कम अपेक्षित है। इकाई मिलीमीटर ही रहेगी। 0.6 से गुणा करने पर 60% निकलेगा, 0.6% नहीं।

हल किया गया उदाहरण 5: पुराना आधार पहचानना

प्रतिदिन आने वाले अनुरोधों की संख्या 480 से बढ़कर 540 हो जाती है। संख्या में बढ़ोतरी और प्रतिशत बढ़ोतरी निकालें।

पहचानें। पुराना मान O = 480 और नया मान N = 540 है।

गणना करें। संख्या में बढ़ोतरी = 540 − 480 = 60 अनुरोध। प्रतिशत बढ़ोतरी = 60/480 × 100% = 12.5%।

जाँचें। 480 का 12.5% = 60 है और 480 + 60 = 540 है। यदि 60 को 540 से भाग दें, तो अंतर को नए मान के सापेक्ष मापेंगे। वह इस प्रश्न का उत्तर नहीं होगा कि मूल संख्या कितने प्रतिशत बढ़ी।

हल किया गया उदाहरण 6: अनुमान की सीमा सिद्ध करना

502 के 19.8% का अनुमान लगाएँ, उसके लिए एक संकरा अंतराल निकालें और फिर सटीक मान ज्ञात करें।

अनुमान। 500 का 20% = 100 है, इसलिए उत्तर 100 के पास होना उचित लगता है। केवल इस अनुमान से यह तय नहीं होता कि सटीक उत्तर 100 से अधिक होगा या कम।

सीमा। दर 0.198 धनात्मक है और 500 < 502 < 505 है। इसलिए:

0.198 × 500 < 0.198 × 502 < 0.198 × 505

अतः 99 < उत्तर < 99.99।

गणना करें। 0.198 × 502 = (0.2 − 0.002) × 502 = 100.4 − 1.004 = 99.396।

जाँचें। सटीक मान सिद्ध किए गए अंतराल में है। 100 को सटीक उत्तर लिखने पर कुछ जानकारी छूट जाएगी। 993.96 जैसा उत्तर तो आकार की जाँच में तुरंत गलत दिख जाएगा।

6. इन आम गलतियों को सुधारें

गलत तरीका	समस्या	सुधार
0.6% को 0.6 मान लेना	प्रतिशत चिह्न में 100 से भाग देना शामिल है	0.6/100 = 0.006 लिखें
भाग निकालने के लिए पूरी मात्रा को प्रतिशत की संख्या से भाग देना	संबंध में दर से गुणा होता है	पहले A = B × p/100 लिखें
पूरी मात्रा निकालने के लिए दिए भाग को दर से गुणा करना	इससे भाग का और छोटा भाग निकलता है	अशून्य दशमलव दर से भाग दें
बढ़ोतरी को नए मान से भाग देना	तुलना का आधार बदल जाता है	घटाने से पहले पुराने और नए मान को चिन्हित करें
कुल संख्या के बिना दर से निश्चित संख्या बता देना	अलग-अलग कुल संख्याओं की दर समान हो सकती है	बताएँ कि कौन-सी जानकारी नहीं दी गई
पुराना मान शून्य होने पर प्रतिशत परिवर्तन निकालना	शून्य से भाग परिभाषित नहीं है	संख्या में परिवर्तन और मॉडल की सीमा बताएँ
तुलना पूरी होने से पहले पूर्णांकन करना	पूर्णांकन से उत्तर प्रभावित हो सकता है	सटीकता रखें या पर्याप्त सीमा सिद्ध करें

आगे बढ़ने से पहले समझाएँ कि छह उदाहरणों में हर का चुनाव कैसे किया गया। गणना का चरण दोहराना उपयोगी है; आधार का कारण समझने पर आप नए ढंग से पूछे गए प्रश्न भी हल कर सकेंगे।

7. नया अभ्यास

हल देखने से पहले हर प्रश्न स्वयं करें। “सभी सही कथन चुनें” में हर सही कथन चुनना है और कोई गलत कथन नहीं। संख्यात्मक उत्तर में प्रश्न की माँगी गई इकाई का ध्यान रखें।

प्रश्न 1

दशमलव दर 0.035 किस प्रतिशत के बराबर है?

A. 0.35%

B. 3.5%

C. 35%

D. 350%

प्रश्न 2

एक सेवा अपने 450 निर्धारित जाँच-कार्यों में से 18% पूरे करती है। कितने जाँच-कार्य पूरे हुए? संख्या लिखें।

प्रश्न 3

एक उपकरण 560 मापों में से 14 को अस्वीकार करता है। कितने प्रतिशत माप अस्वीकार हुए? प्रतिशत चिह्न के बिना प्रतिशत की संख्या लिखें।

प्रश्न 4

171 इकाइयाँ किसी खेप का 45% हैं। खेप में कुल कितनी इकाइयाँ हैं?

प्रश्न 5

संग्रहित मात्रा 320 L से बढ़कर 368 L हो जाती है। प्रतिशत बढ़ोतरी कितनी है?

A. लगभग 13.04%

B. 15%

C. 48%

D. 115%

प्रश्न 6

एक संख्या 750 से घटकर 690 हो जाती है। प्रतिशत कमी कितनी है? प्रतिशत की धनात्मक संख्या लिखें।

प्रश्न 7

सभी सही कथन चुनें।

A. तुलना की जा रही मात्रा किसी धनात्मक आधार का 125% हो सकती है।

B. 64 का 125%, 80 है।

C. 64 सदस्यों वाले निश्चित समूह के उपसमूह में 80 अलग-अलग सदस्य हो सकते हैं।

D. 0.8% की दशमलव दर 0.08 है।

प्रश्न 8

802 का ठीक 12.4% निकालें। गणना से पहले दिखाएँ कि उत्तर 99.2 और 99.82 के बीच होगा। सटीक संख्या लिखें।

प्रश्न 9

एक नया काउंटर 0 से शुरू होता है और बाद में 12 दिखाता है। सामान्य प्रतिशत-परिवर्तन सूत्र के अनुसार कौन-सी रिपोर्ट गणितीय रूप से उचित है?

A. संख्या 12% बढ़ी।

B. संख्या 1200% बढ़ी।

C. संख्या में बढ़ोतरी 12 है; इस शून्य आधार से प्रतिशत बढ़ोतरी परिभाषित नहीं है।

D. प्रतिशत परिभाषित नहीं है, इसलिए संख्या नहीं बदली।

प्रश्न 10

दी गई जानकारी से समर्थित सभी निष्कर्ष चुनें।

A. यदि 60% प्रतिभागी ऑनलाइन हैं, तो ठीक 40 प्रतिभागी ऑफलाइन होने चाहिए।

B. यदि 250 प्रतिभागियों में से 60% ऑनलाइन हैं, तो 150 ऑनलाइन हैं।

C. यदि 12 प्रतिभागी कुल संख्या के 30% हैं, तो कुल संख्या 40 है।

D. यदि शून्य किसी अज्ञात कुल संख्या का 0% है, तो वह कुल संख्या शून्य ही होगी।

8. हल और विकल्पों की जाँच

हल 1: B

दशमलव दर को प्रतिशत में बदलें: 0.035×100=3.5। इसलिए उत्तर 3.5% है। उलटा जाँचें: 3.5/100=0.035।

• A: 0.35%=0.0035 है, जो दस गुना छोटा है।
• B: 3.5%=0.035 ठीक बराबर है।
• C: 35%=0.35 है, जो दस गुना बड़ा है।
• D: 350%=3.5 है, जो सौ गुना बड़ा है।

हल 2: 81

आधार 450 जाँच-कार्य और दर 0.18 है। पूरे हुए जाँच-कार्य=450×0.18=81। आकार जाँचने के लिए 20% का मान 90 लें; 18% के लिए 81 उचित है।

हल 3: 2.5

दर=14/560=1/40=0.025। इसे 100 से गुणा करने पर 2.5% मिलता है। संख्यात्मक उत्तर 2.5 होगा, 0.025 नहीं।

हल 4: 380

संबंध लिखें: 171=0.45B। तब B=171/0.45=380। आगे की दिशा में जाँचें: 380×0.45=171। पूरी मात्रा भाग से बड़ी है।

हल 5: B

बढ़ोतरी=368−320=48 L। पुराने आधार का उपयोग करें: 48/320×100%=15%। नई मात्रा पुरानी का 115% है, इसलिए बढ़ोतरी 15% है।

• A: 48/368×100 लगभग 13.04% है, लेकिन इसमें नया आधार लिया गया है।
• B: 48/320×100=15 में शुरुआती आधार सही लिया गया है।
• C: 48 लीटर में बढ़ोतरी है, प्रतिशत की संख्या नहीं।
• D: 115% नई मात्रा/पुरानी मात्रा की तुलना है, बढ़ोतरी/पुरानी मात्रा की नहीं।

हल 6: 8

कमी=750−690=60। प्रतिशत कमी=60/750×100=8%। चिह्न सहित प्रतिशत परिवर्तन −8% होगा, लेकिन प्रश्न कमी का धनात्मक परिमाण पूछता है, इसलिए 8 लिखें।

हल 7: A, B

125%=1.25 है, इसलिए 1.25×64=80। तुलना की जा रही मात्रा आधार से बड़ी हो सकती है, लेकिन किसी उपसमूह में निश्चित पूरे समूह से अधिक अलग-अलग सदस्य नहीं हो सकते। साथ ही, 0.8%=0.008 है।

• A: अलग मात्राओं की तुलना में 100 से अधिक प्रतिशत मान्य हो सकता है।
• B: 64×1.25=80 है।
• C: इस निश्चित 64-सदस्यीय समूह के उपसमूह में अधिकतम 64 अलग-अलग सदस्य हो सकते हैं।
• D: 0.8 को 100 से भाग देने पर 0.008 मिलता है, 0.08 नहीं।

हल 8: 99.448

800<802<805 और 0.124>0 है। गुणा करने पर 99.2<0.124×802<99.82 मिलता है। सटीक गणना: 0.124×802=0.124×800+0.124×2=99.2+0.248=99.448। यह निकाली गई सीमाओं के बीच है।

हल 9: C

संख्या में बढ़ोतरी 12−0=12 है। प्रतिशत परिवर्तन की गणना 12/0×100% होगी, जो परिभाषित नहीं है। अनुपात परिभाषित न होने से वास्तविक बढ़ोतरी समाप्त नहीं हो जाती।

• A: वैध आधार के बिना संख्या में हुई बढ़ोतरी को प्रतिशत नहीं कहा जा सकता।
• B: 100 से गुणा करने पर शून्य से भाग देने की समस्या दूर नहीं होती।
• C: इसमें सही संख्यात्मक बढ़ोतरी बताई गई है और प्रतिशत सूत्र की सीमा भी स्पष्ट है।
• D: अनुपात परिभाषित न होने पर भी संख्या में हुई बढ़ोतरी मालूम है।

हल 10: B, C

B के लिए 250×0.60=150 है। C के लिए 12/0.30=40 है। A में ऑफलाइन प्रतिभागियों की निश्चित संख्या निकालने के लिए कुल संख्या और यह शर्त चाहिए कि हर प्रतिभागी ठीक एक श्रेणी में हो: ऑनलाइन या ऑफलाइन। केवल प्रतिशत पर्याप्त नहीं है। D में किसी भी कुल संख्या का 0% शून्य होगा, इसलिए कुल संख्या निश्चित नहीं है।

• A: 40% और 40 व्यक्ति समान बात नहीं हैं; कुल संख्या भी नहीं दी गई है।
• B: दिए गए कुल और दर से 150 निश्चित मिलता है।
• C: दिए भाग को अशून्य दर से भाग देने पर 40 निश्चित मिलता है।
• D: उदाहरण के लिए, कुल 10 हो या 100, दोनों का 0% शून्य ही है।

9. आगे बढ़ने से पहले

प्रतिशत के किसी नए प्रश्न में पहले कहें: “मेरा 100% आधार … है; तुलना की मात्रा … है; दर … है; और अज्ञात राशि … है।” फिर संबंध चुनें, अनुमान लगाएँ, गणना करें और उत्तर जाँचें। आवश्यक हर शून्य हो या ज़रूरी कुल मात्रा नहीं दी गई हो, तो जबरन संख्या निकालने के बजाय सीमा समझाएँ।

अगले पाठ में अनुपात से आपसी हिस्से व्यक्त करेंगे, बिना हर बार उन्हें पहले प्रतिशत में बदले। इस पाठ की आधार-पहचान की आदत बनाए रखें: अनुपात से निश्चित मात्राएँ निकालने के लिए भी कोई माप-गुणक या कुल मात्रा चाहिए।

संदर्भ

पाठ्यक्रम: गेट 2027 सामान्य अभिरुचि, पृष्ठ 1, खंड 2।

आगे पढ़ने के लिए: OpenStax की Prealgebra 2e, खंड 6.1, Understand Percent और खंड 6.2, Solve General Applications of Percent।

हिंदी व्याख्याएँ सीखने में सहायता के लिए हैं; गेट 2027 की परीक्षा अंग्रेज़ी में होती है।

उदाहरण से समझें

कल्पना करें कि चुनी गई पूरी मात्रा पर 100 बराबर खानों वाली पट्टी फैलाई गई है। पूरी मात्रा 200 cm लंबा फीता हो, तो एक खाना 2 cm और 25 खाने 50 cm दर्शाएँगे। वही 25%, 40 cm लंबे फीते पर 10 cm होगा, क्योंकि अब पट्टी दूसरी पूरी मात्रा के अनुसार छोटी हो गई है। इसलिए पहले फीता, यानी आधार, चुनें; फिर उसके अनुपात में खाने गिनें।

यह पट्टी अनुपात समझाने का मॉडल है। इसका अर्थ यह नहीं कि हर वास्तविक वस्तु को सौ हिस्सों में काटा जा सकता है। 100% से अधिक की तुलना पहली पट्टी से आगे जाएगी। पट्टी अपने-आप अज्ञात पूरी मात्रा नहीं बता सकती। शून्य लंबाई वाले आधार से भाग देकर सापेक्ष प्रतिशत भी नहीं निकाला जा सकता।

सूत्र और नियम

पहले आधार पहचानें: B वह मात्रा है जिसे 100% माना गया है; A तुलना की मात्रा है; p प्रतिशत की संख्या है।

• दशमलव दर = p/100; प्रतिशत की संख्या = दशमलव दर × 100
• मात्रा: A = B × p/100
• प्रतिशत: p = 100A/B, जहाँ B ≠ 0
• पूरी मात्रा: B = A ÷ (p/100), जहाँ p ≠ 0
• प्रतिशत परिवर्तन = (नया − पुराना)/पुराना × 100%, जहाँ पुराना ≠ 0
• प्रतिशत कमी = (पुराना − नया)/पुराना × 100%, जब नया < पुराना और पुराना > 0 हो
• तुलना की राशियाँ एक ही इकाई में रखें। प्रतिशत की अपनी इकाई नहीं होती; मात्रा में आधार की इकाई बनी रहती है।
• दो मात्राओं की तुलना 100% से अधिक हो सकती है; निश्चित पूरे समूह में उसके कुल से अधिक अलग-अलग सदस्य नहीं हो सकते।
• पुराना आधार शून्य हो तो संख्या में परिवर्तन बताएँ; सापेक्ष प्रतिशत परिवर्तन परिभाषित नहीं है।
• शून्य दर पर शून्य भाग से पूरी मात्रा निश्चित नहीं होती। कुल के बिना दर से निश्चित संख्या नहीं निकलती।
• अनुमान लगाएँ, सटीकता रखें और उत्तर को संबंध में वापस रखकर जाँचें। अनुमान स्पष्ट करें और माँगे जाने पर ही पूर्णांकन करें।

उपयोगी रूपांतरण: 1/2 = 50%; 1/4 = 25%; 1/8 = 12.5%; 1/100 = 1%; 0.5% = 0.005। संदर्भ: गेट 2027 सामान्य अभिरुचि खंड 2 पर आधारित मौलिक शिक्षण; अवधारणा-जाँच के लिए OpenStax Prealgebra 2e के खंड 6.1–6.2।