क्रमिक परिवर्तन और उलटा प्रतिशत

आप क्या सीखेंगे

प्रतिशत परिवर्तन हमेशा किसी निश्चित आधार पर लागू होता है। जब दूसरा परिवर्तन नई मात्रा पर लागू होता है, तो आधार बदल चुका होता है। इस पाठ में हम क्रमिक परिवर्तनों का हिसाब रखेंगे, ज्ञात क्रम से मूल मात्रा निकालेंगे, उलटी दिशा में तुलना करेंगे और किसी प्रतिशत दर के परिवर्तन को सही भाषा में बताएँगे।

पहले आपको प्रतिशत को दशमलव में बदलना, धनात्मक पूरी मात्रा का कोई भाग निकालना और सरल समीकरण हल करना आना चाहिए। छोटी जाँच: 12% = 0.12 और 88% बचने का अर्थ 0.88 से गुणा करना है।

अर्थ से गुणक बनाइए

मूल मात्रा x मानें। p% बढ़ोतरी में (p/100)x जुड़ता है, इसलिए नई मात्रा x + (p/100)x = x(1 + p/100) होगी। p% कमी में उतना भाग निकल जाता है और x(1 − p/100) बचता है। यहाँ 1 मूल 100% को दर्शाता है; उसे छोड़ना नहीं है।

परिवर्तन	गुणक	अर्थ
15% बढ़ोतरी	1.15	मूल 100% के साथ 15% और
10% कमी	0.90	90% शेष
कोई परिवर्तन नहीं	1	पूरी मात्रा शेष
100% कमी	0	कुछ भी शेष नहीं

कीमत, गिनती और माप के इन सामान्य मॉडलों में x > 0 है। शून्य मूल मात्रा से प्रतिशत परिवर्तन परिभाषित नहीं होता, क्योंकि सूत्र में उसी से भाग देना पड़ता है। 100% से अधिक कमी ऋणात्मक मात्रा देगी, इसलिए इन गैर-ऋणात्मक संदर्भों में वह मॉडल उपयुक्त नहीं है। 100% से अधिक बढ़ोतरी संभव हो सकती है: दोगुना होना 100% बढ़ोतरी है, 200% बढ़ोतरी नहीं।

हर बार का वर्तमान आधार देखें

यदि गुणक a और b हैं, तो क्रम x → ax → abx है। कुल चिह्न सहित प्रतिशत परिवर्तन (ab − 1) × 100% होगा। धनात्मक उत्तर बढ़ोतरी और ऋणात्मक उत्तर कमी बताता है। कमी का परिमाण पूछा जाए तो धनात्मक संख्या के साथ ‘कमी’ लिखें।

बिना पूर्णांकन, सीमा, निश्चित राशि जोड़ने या किसी दूसरी बीच की शर्त के, निश्चित गुणकों का क्रम बदलने से अंतिम मान नहीं बदलता। बीच के मान अलग हो सकते हैं। यह बात निश्चित ₹50 जोड़ने जैसी क्रिया पर लागू न करें: गुणा और जोड़ का क्रम सामान्यतः महत्त्व रखता है। उदाहरण के लिए, 100 × 1.10 + 50 = 160, लेकिन (100 + 50) × 1.10 = 165।

बराबर प्रतिशत बढ़ोतरी और कमी एक-दूसरे को निरस्त नहीं करतीं। दशमलव दर r के लिए (1 + r)(1 − r) = 1 − r² है। 0 < r < 1 होने पर यह गुणक 1 से कम है। लेकिन यदि प्रश्न स्पष्ट रूप से दोनों प्रतिशत मूल आधार पर लगाता है, तो वही शर्त अपनाएँ; वह बदलते वर्तमान आधार वाला क्रमिक मॉडल नहीं है।

पूरे गुणक को उलटें

यदि अंतिम मात्रा = मूल मात्रा × M और ज्ञात संयुक्त गुणक M शून्य नहीं है, तो मूल मात्रा = अंतिम मात्रा/M होगी। भाग देना गुणा की उलटी क्रिया है। उतने ही प्रतिशत का विपरीत परिवर्तन लगाना सामान्यतः एक नया परिवर्तन होता है, पुराने परिवर्तन को मिटाना नहीं। मूल मात्रा मिलने पर पूरा आगे का क्रम लगाकर जाँचें।

100% कमी में M = 0 होता है: कई अलग मूल मात्राएँ शून्य बन जाती हैं। केवल अंतिम शून्य से मूल मात्रा नहीं मिल सकती। परिवर्तन की जानकारी बिना केवल अंतिम मात्रा भी पर्याप्त नहीं है। कोई गुणक अपने-आप न मानें और शून्य से भाग न दें।

तुलना का आधार उलटने पर

यदि A, B से p% अधिक है, तो A = (1 + p/100)B होगा। इस कथन में अंतर का आधार B है। B, A से कितने प्रतिशत कम है, यह पूछने पर उसी अंतर को A से भाग देना होगा। धनात्मक p के लिए यह कमी 100p/(100 + p)% है।

p% कमी के बाद, जहाँ 0 < p < 100, मूल मान तक लौटने के लिए बढ़ोतरी 100p/(100 − p)% चाहिए। यहाँ हर घटी हुई मात्रा है। ये सूत्र आधार चुनने से निकलते हैं; इन्हें याद करने के बजाय मूल मात्रा 100 मानकर समझना अक्सर अधिक सुरक्षित है।

प्रतिशत अंक और सापेक्ष परिवर्तन

दर स्वयं एक अनुपात है। दर u% से v% होने पर परिवर्तन v − u प्रतिशत अंक होगा। सापेक्ष प्रतिशत परिवर्तन ((v − u)/u) × 100% है, बशर्ते u शून्य न हो। चिह्न बनाए रखें या बढ़ोतरी/कमी स्पष्ट लिखें। 0% से 5% होना 5 प्रतिशत अंकों की बढ़ोतरी है; 0% से कोई सीमित सापेक्ष प्रतिशत बढ़ोतरी परिभाषित नहीं है।

गिनती और दर को भी अलग रखें। प्रयासों की कुल संख्या बदलने पर केवल सफलताओं की संख्या बढ़ना सफलता-दर बढ़ने का प्रमाण नहीं है। हर अवधि में पहले सफलता/प्रयास का अनुपात निकालें।

गुणनफल और संतुलन

यदि कुल खर्च = प्रति इकाई कीमत × मात्रा है, तो कीमत और मात्रा के गुणकों को गुणा करें। यही विचार किसी दिए हुए वास्तविक गुणनफल पर लागू होता है, जैसे आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई। इससे हर संबंध को गुणनफल मानने की छूट नहीं मिलती।

धनात्मक गुणनफल स्थिर रखने के लिए उसका कुल गुणक 1 होना चाहिए। पहला गुणक a > 0 हो तो दूसरा 1/a होगा। इस व्युत्क्रम को प्रतिशत में बदलते समय बताएँ कि तुलना किस मात्रा से है। इसे पिछले पाठ के निश्चित दूरी वाले व्युत्क्रमानुपाती मॉडल से जोड़कर समझें।

हल करने का क्रम

1. मूल मात्रा, उसकी इकाई और हर तुलना का आधार लिखें।
2. हर परिवर्तन का गुणक बनाएँ; क्रियाओं का क्रम और गैर-प्रतिशत क्रिया भी बनाए रखें।
3. आगे जाने पर गुणा करें; मूल मात्रा निकालने पर पूरे ज्ञात, अशून्य गुणक से भाग दें।
4. अंतिम मात्रा की मूल से तुलना करें। दो प्रतिशत दरों का अंतर हो तभी प्रतिशत अंक कहें।
5. दिशा, इकाई और संदर्भ की सम्भाव्यता जाँचें; फिर उत्तर को मूल कथन में रखकर सत्यापित करें।

छह हल किए हुए उदाहरण

हल किया उदाहरण 1

₹1200 की कीमत पहले 15% बढ़ती है और फिर बढ़ी हुई कीमत का 10% घटता है। अंतिम कीमत और कुल प्रतिशत परिवर्तन निकालें।

1. पहला आधार ₹1200 है। बढ़ोतरी के बाद 1200 × 1.15 = ₹1380।
2. दूसरा आधार ₹1380 है। उसका 10% ₹138 है, इसलिए अंतिम कीमत 1380 − 138 = ₹1242।
3. संयुक्त गुणक 1.15 × 0.90 = 1.035 है। मूल मात्रा का 0.035, अर्थात 3.5%, बढ़ा।

उत्तर: ₹1242; 3.5% बढ़ोतरी

जाँच और सावधानी: 1242 − 1200 = 42 और 42/1200 = 0.035। 15 में से 10 घटाना दोनों परिवर्तनों का आधार एक ही मानने की गलती है।

हल किया उदाहरण 2

20% छूट के बाद एक उपकरण की कीमत ₹560 है। छूट से पहले की कीमत क्या थी?

1. मूल कीमत x का 80% शेष है: 0.80x = 560।
2. 0.80 से भाग दें: x = 560/0.80 = ₹700।
3. मूल कीमत छूट के बाद की कीमत से अधिक है, जैसा होना चाहिए।

उत्तर: ₹700

जाँच और सावधानी: 700 × 0.80 = 560। 560 में उसका 20% जोड़ने से 672 मिलता है, लेकिन 672 × 0.80 = 537.60; इससे दिया 560 नहीं मिलता।

हल किया उदाहरण 3

A के पास B से 25% अधिक नमूने हैं। B के नमूने A से कितने प्रतिशत कम हैं?

1. अनुपात की तुलना के लिए B = 100 इकाइयाँ और A = 125 इकाइयाँ मानें। यह अनुपात बताता है, वास्तविक नमूनों की संख्या नहीं।
2. अंतर 25 इकाइयाँ है। “B, A से कम” में आधार A = 125 है।
3. प्रतिशत कमी = 25/125 × 100 = 20%।

उत्तर: 20%

जाँच और सावधानी: 125 × 0.80 = 100। 25% कम कहने पर 93.75 मिलेगा; वह अलग संबंध है।

हल किया उदाहरण 4

कार्य-समापन दर 40% से 46% होती है। परिवर्तन को प्रतिशत अंकों और सापेक्ष प्रतिशत बढ़ोतरी में बताएँ।

1. दी गई दरों का अंतर 46 − 40 = 6 प्रतिशत अंक है।
2. पुरानी दर की तुलना में अंतर 6/40 = 0.15, अर्थात 15% बढ़ोतरी है।
3. दोनों कथन संगत हैं: 40% × 1.15 = 46%।

उत्तर: 6 प्रतिशत अंक; 15% सापेक्ष बढ़ोतरी

जाँच और सावधानी: 6% सापेक्ष बढ़ोतरी से 40% × 1.06 = 42.4% मिलेगा, 46% नहीं। संख्या के साथ उसका अर्थ भी लिखें।

हल किया उदाहरण 5

प्रति इकाई कीमत 8% बढ़ती है और खरीदी गई मात्रा 5% घटती है। कोई अन्य शुल्क नहीं है। कुल खर्च में कितने प्रतिशत परिवर्तन होता है?

1. पुरानी प्रति इकाई कीमत P और मात्रा Q लें; पुराना खर्च PQ है।
2. नया खर्च = (1.08P)(0.95Q) = 1.026PQ।
3. गुणक 1 से 0.026 अधिक है, इसलिए खर्च 2.6% बढ़ा।

उत्तर: 2.6% बढ़ोतरी

जाँच और सावधानी: P = ₹100 और Q = 20 लेने पर खर्च ₹2000 से ₹108 × 19 = ₹2052 होता है; 52/2000 = 2.6%। 8 − 5 = 3% करने से गुणनफल का अतिरिक्त पद छूट जाता है।

हल किया उदाहरण 6

किसी माप में 20% कमी आती है। घटे हुए मान से कितने प्रतिशत बढ़ाने पर मूल मान वापस मिलेगा?

1. धनात्मक मूल मात्रा 100 मानें; 20% कमी के बाद 80 बचेगा।
2. वापस जोड़ना 20 है, लेकिन अब आधार 80 है।
3. वापसी की बढ़ोतरी = 20/80 × 100 = 25%; अर्थात गुणक 1/0.80 = 1.25।

उत्तर: 25%

जाँच और सावधानी: 80 × 1.25 = 100। 20% बढ़ोतरी से केवल 96 मिलेगा। 100% कमी में घटा आधार शून्य होगा, इसलिए इस तरह उलटा हिसाब नहीं हो सकेगा।

दस नए अभ्यास प्रश्न

हल देखने से पहले स्वयं प्रयास करें। एक से अधिक उत्तर वाले प्रश्नों में सभी सही कथन चुनने को स्पष्ट कहा गया है। संख्यात्मक उत्तर में दी गई इकाई के अनुसार माँगी संख्या लिखें।

अभ्यास प्रश्न 1

1600 का मान 20% बढ़ता है, फिर नए मान का 25% घटता है। कौन-सा अंतिम मान और कुल परिवर्तन सही है?

A. 1520; 5% कमी

B. 1440; 10% कमी

C. 1600; कोई परिवर्तन नहीं

D. 1920; 20% बढ़ोतरी

अभ्यास प्रश्न 2

किसी धनात्मक माप को दो बार 15% घटाया जाता है; हर बार वर्तमान मान आधार है। कुल प्रतिशत कमी कितनी है? धनात्मक प्रतिशत संख्या लिखें।

अभ्यास प्रश्न 3

धनात्मक मात्रा पहले 10% बढ़ती है और फिर 30% घटती है; हर परिवर्तन वर्तमान मात्रा पर है। गणना सटीक है और कोई शुल्क या दूसरा परिवर्तन नहीं है। सभी सही कथन चुनें।

A. अंतिम गुणक 0.77 है

B. कुल कमी 20% है

C. इन दोनों प्रतिशत गुणकों का क्रम उलटने पर वही अंतिम मान मिलेगा

D. 30% कमी का आधार मूल मात्रा का 1.10 गुना है

अभ्यास प्रश्न 4

8% बढ़ोतरी के बाद कीमत ₹972 है। मूल कीमत क्या थी? रुपये की संख्या लिखें।

अभ्यास प्रश्न 5

कीमत पहले 10% बढ़ती है, फिर बढ़ी हुई कीमत का 10% घटता है। अंतिम कीमत ₹1188 है। मूल कीमत क्या थी?

A. ₹1176.12

B. ₹1188

C. ₹1200

D. ₹1320

अभ्यास प्रश्न 6

B, धनात्मक A से 40% कम है। A, B से कितने प्रतिशत अधिक है?

A. 40%

B. 60%

C. 66⅔%

D. 150%

अभ्यास प्रश्न 7

धनात्मक मात्रा का 37.5% घट जाता है। शेष मात्रा को कितने प्रतिशत बढ़ाने पर मूल मान वापस मिलेगा? धनात्मक प्रतिशत संख्या लिखें।

अभ्यास प्रश्न 8

दर 75% से 69% होती है। प्रतिशत अंकों में कमी और सापेक्ष प्रतिशत कमी का कौन-सा युग्म सही है?

A. 6 प्रतिशत अंक; 6%

B. 6 प्रतिशत अंक; 8%

C. 8 प्रतिशत अंक; 6%

D. 8 प्रतिशत अंक; 8%

अभ्यास प्रश्न 9

प्रति इकाई कीमत 60% बढ़ती है। कोई अन्य शुल्क नहीं है। कुल खर्च स्थिर रखने के लिए खरीदी गई मात्रा कितने प्रतिशत घटानी होगी?

A. 60%

B. 40%

C. 37.5%

D. 62.5%

अभ्यास प्रश्न 10

इस पाठ के सामान्य गैर-ऋणात्मक मात्रा-मॉडलों में सभी गणितीय रूप से सही कथन चुनें।

A. 100% बढ़ोतरी मूल मात्रा को शून्य से गुणा करती है

B. 100% कमी के बाद अंतिम शून्य से एक अद्वितीय धनात्मक मूल मात्रा नहीं मिलती

C. 0 से 8 होने का सापेक्ष प्रतिशत परिवर्तन परिभाषित नहीं है

D. प्रतिशत परिवर्तन अज्ञात होने पर भी अंतिम मान 150 से मूल मात्रा मिल जाती है

अभ्यास के हल

हल 1

उत्तर: B

बीच का मान 1600 × 1.20 = 1920 है। अंतिम मान 1920 × 0.75 = 1440 है। गुणक 0.90 मूल से 10% कमी बताता है।

• A: A दी गई दरें घटाकर दूसरे चरण का बदला आधार भूलता है।
• B: B दोनों गुणक लगाकर 1600 से तुलना करता है।
• C: C परिवर्तनों को एक-दूसरे को निरस्त करने वाला मानता है।
• D: D पहले परिवर्तन पर ही रुकता है।

हल 2

उत्तर: 27.75

शेष गुणक 0.85 × 0.85 = 0.7225 है। इसलिए 1 − 0.7225 = 0.2775, अर्थात 27.75%, घटा। मूल 100 मानने पर चरण 85 और 72.25 हैं। दूसरी कमी 12.75 है, मूल का फिर से 15 नहीं।

हल 3

उत्तर: A, C, D

1.10 × 0.70 = 0.77, इसलिए कुल कमी 23% है। दिए सटीक मॉडल में निश्चित गुणकों का क्रम बदल सकता है, लेकिन मूल क्रम के दूसरे चरण से पहले मात्रा मूल की 1.10 गुनी है।

• A: A सही गुणनफल है।
• B: B गलत ढंग से 30 में से 10 घटाता है।
• C: C में 1.10 × 0.70 = 0.70 × 1.10 है; दी गई शर्त महत्त्वपूर्ण है।
• D: D दूसरे आधार को सही पहचानता है।

हल 4

उत्तर: 900

मूल कीमत x लें। तब 1.08x = 972 और x = 972/1.08 = 900। आगे की जाँच: 900 का 8% 72 है, जिससे 972 मिलता है। 972 का 8% घटाना गलत आधार लेना होगा।

हल 5

उत्तर: C

संयुक्त गुणक 1.10 × 0.90 = 0.99 है। मूल कीमत 1188/0.99 = 1200 है। पूरे क्रम की जाँच: 1200 → 1320 → 1188।

• A: A भाग देने के बजाय आगे वाला गुणक फिर लगाता है।
• B: B बराबर प्रतिशतों को निरस्त मानता है।
• C: C पूरे गुणक को उलटता है।
• D: D केवल अंतिम कमी उलटकर बीच का मान देता है।

हल 6

उत्तर: C

A = 100 और B = 60 मानें। “A, B से अधिक” में आधार 60 है। अंतर 40, B का 40/60 × 100 = 66⅔% है।

• A: A पुराना आधार A ही रखता है।
• B: B बताता है कि B, A का कितना प्रतिशत है; यह पूछी बढ़ोतरी नहीं है।
• C: C में हर B है।
• D: D से A, B का 2.5 गुना होगा, जबकि A/B = 5/3 है।

हल 7

उत्तर: 60

मूल 100 में से 62.5 बचा और 37.5 वापस जोड़ना है। बढ़ोतरी की दर 37.5/62.5 × 100 = 60% है। जाँच: 0.625 × 1.60 = 1।

हल 8

उत्तर: B

अंतर 75 − 69 = 6 प्रतिशत अंक है। पुरानी दर की तुलना में 6/75 × 100 = 8%। जाँच: 75% × 0.92 = 69%।

• A: A प्रतिशत-अंक के अंतर को सापेक्ष प्रतिशत मानता है।
• B: B दोनों मात्राओं के नाम सही रखता है।
• C: C दोनों संख्याएँ बदल देता है।
• D: D का सापेक्ष परिवर्तन सही है, लेकिन प्रतिशत-अंक का अंतर गलत है।

हल 9

उत्तर: C

कीमत का गुणक 1.60 है। मात्रा का गुणक 1/1.60 = 0.625 होना चाहिए। पुरानी मात्रा का 62.5% बचता है, अर्थात 37.5% कमी। जाँच: 1.60 × 0.625 = 1।

• A: A बराबर विपरीत प्रतिशत लगा देता है।
• B: B से मात्रा का गुणक 0.60 और खर्च का गुणक 0.96 होगा।
• C: C आवश्यक व्युत्क्रम गुणक देता है।
• D: D शेष प्रतिशत को कमी समझता है।

हल 10

उत्तर: B, C

100% बढ़ोतरी का गुणक 2 है, जबकि 100% कमी का गुणक 0 है। शून्य से गुणा करने पर मूल मान की जानकारी खो जाती है। सापेक्ष परिवर्तन में पुराने मान से भाग देना होता है, इसलिए पुराना शून्य मान मान्य नहीं है। गुणक अज्ञात हो तो 150, मूल 150 का अपरिवर्तित मान या मूल 100 में 50% बढ़ोतरी, दोनों हो सकता है।

• A: A दोगुना होने को मिट जाने से मिलाता है।
• B: B सही है क्योंकि हर धनात्मक मूल मात्रा को शून्य से गुणा करने पर शून्य मिलता है।
• C: C में शून्य से भाग देना पड़ेगा।
• D: D में जानकारी अपर्याप्त है; दो संगत मूल मान दिए जा सकते हैं।

गलती होने पर कहाँ लौटें

अभ्यास प्रश्न 1–3: गुणक और वर्तमान आधार वाले खंड तथा हल किया उदाहरण 1 देखें। प्रश्न 4–5: भाग देने से पहले आगे का पूरा समीकरण लिखें। प्रश्न 6–7: नया तुलना-आधार लिखें। प्रश्न 8: प्रतिशत अंक और सापेक्ष प्रतिशत अलग करें। प्रश्न 9: गुणनफल का गुणक 1 रखें। प्रश्न 10: आवश्यक भाग और जानकारी की वैधता जाँचें।

स्क्रीन पर चौड़ाई बदलना

स्क्रीन पर किसी चित्र की चौड़ाई बदलने वाला नियंत्रण सोचें। गुणक वर्तमान चौड़ाई को बदलता है: 120% का अर्थ वर्तमान चौड़ाई का 1.20 गुना; उसके बाद 75% करने का अर्थ नई चौड़ाई का 0.75 गुना। शुरुआती चौड़ाई पाने के लिए संयुक्त गुणक से भाग दें। चौड़ाई शून्य कर देने वाला नियंत्रण जानकारी मिटा देता है: केवल उसका अंतिम मान पुरानी चौड़ाई नहीं बता सकता।

यह उपमा बदलता आधार समझाती है, कोई भौतिक नियम नहीं। वास्तविक सॉफ़्टवेयर पिक्सेल पूर्णांक कर सकता है, लंबाई-चौड़ाई अनुपात बनाए रख सकता है या न्यूनतम आकार लगा सकता है; हमारे सटीक मॉडल में ये नियम नहीं हैं। निश्चित चौड़ाई की किनारी जोड़ना जोड़ है, दूसरा प्रतिशत गुणक नहीं। 40% से 46% जैसी दरों के लिए प्रतिशत-अंक की अलग तुलना करें; इसे केवल “6% खिसकना” न मानें।

सूत्र और नियम

• धनात्मक मूल x; p% बढ़ोतरी: x(1 + p/100); p% कमी: x(1 − p/100)
• क्रमिक गुणक गुणा होते हैं; कुल चिह्न सहित परिवर्तन = (संयुक्त गुणक − 1) × 100%
• मूल मात्रा = अंतिम मात्रा/संयुक्त गुणक, केवल जब ज्ञात गुणक शून्य न हो
• 100% कमी को अकेले अंतिम मान से उलटा नहीं जा सकता; पुराना शून्य मान हो तो सापेक्ष परिवर्तन परिभाषित नहीं
• अंतर की तुलना प्रश्न में दिए आधार से करें; उलटी तुलना में हर बदलता है
• दर u% → v%: v − u प्रतिशत अंक; सापेक्ष परिवर्तन = (v − u)/u × 100%, जहाँ u ≠ 0
• स्थिर गुणनफल: गुणकों का गुणनफल 1; संतुलन के लिए व्युत्क्रम लें
• निश्चित राशि जोड़ने, पूर्णांकन और सीमाओं के नियम अलग जाँचें
• आधार लिखें, इकाइयाँ रखें, दिशा जाँचें और पूरा आगे का हिसाब दोहराएँ

अवधारणा संदर्भ: OpenStax Prealgebra 2e, खंड 6.2, प्रतिशत समीकरण और मूल आधार से परिवर्तन। यहाँ गुणक, उलटे हिसाब और गुणनफल का तर्क समझाकर निकाला गया है।