भारित प्रतिशत और आँकड़ों के प्रश्न
आप क्या सीखेंगे
किसी समूह की दर सफलताओं, दोषपूर्ण इकाइयों या किसी घटक के द्रव्यमान को उसी समूह के आधार से तुलना करती है। समूहों को मिलाने के लिए पहले वास्तविक मात्राओं पर लौटें। इस पाठ में यही विधि, दरों का साधारण औसत कब उचित है, और तुलना का आधार अनजाने में बदले बिना तालिका, वृत्त-आरेख तथा संख्या-स्तंभों के बीच जाना सीखेंगे।
आपको पूरी मात्रा का कोई प्रतिशत निकालना और प्रतिशत-अंक के अंतर को सापेक्ष प्रतिशत परिवर्तन से अलग करना आना चाहिए। उदाहरणों में दी गई गिनतियाँ और प्रतिशत सटीक हैं, जब तक प्रश्न कोई दूसरी बात न कहे।
1 मिलाने से पहले वास्तविक मात्राएँ निकालें
मानें समूह i का धनात्मक आधार wᵢ और दशमलव में दर rᵢ है। उसका अंश wᵢrᵢ होगा। इसलिए:
कुल दशमलव दर = (w₁r₁ + w₂r₂ + …)/(w₁ + w₂ + …)।
प्रतिशत के लिए इसे 100 से गुणा करें। यदि Pᵢ में 0.80 के बजाय प्रतिशत संख्या 80 लिखी हो, तो कुल प्रतिशत संख्या (w₁P₁ + w₂P₂ + …)/(w₁ + w₂ + …) होगी। 100 से दो बार भाग न दें और दोनों तरीकों को आपस में न मिलाएँ।
भार वे मात्राएँ हैं जो हर में आती हैं: व्यक्ति-आधारित सफलता-दर में लोग, दोष-दर में जाँची गई इकाइयाँ और द्रव्यमान प्रतिशत में कुल द्रव्यमान। सफलता की गिनती को फिर से समूह के आकार से गुणा न करें। उस गिनती में समूह का आकार पहले ही शामिल है।
2 जाँचें कि समूहों को मिलाना सही अर्थ दे रहा है
समूहों में दर की परिभाषा समान और इकाइयाँ संगत होनी चाहिए। अलग-अलग समूह जोड़ें या उनके साझा सदस्यों का स्पष्ट हिसाब रखें; एक व्यक्ति को दो बार गिनना अलग व्यक्तियों की कुल दर नहीं है। यदि प्रेक्षण की इकाई एक प्रयास है और प्रश्न सभी प्रयासों की दर पूछता है, तो दोहराए गए प्रयास अलग प्रेक्षण हो सकते हैं। इकाई स्पष्ट लिखें।
कुल हर धनात्मक होना चाहिए। खाली समूह की अपनी दर परिभाषित नहीं होती; उसे अपने-आप शून्य न मानें। पूरी मात्रा के भीतर किसी वास्तविक भाग की दर में अंश शून्य से उसके संबंधित हर के बीच है, इसलिए प्रतिशत 0% से 100% तक होगा। सापेक्ष बढ़ोतरी अलग प्रकार की तुलना है और 100% से अधिक हो सकती है।
वास्तविक मात्राएँ दी हों तो बिना समय से पहले पूर्णांकन किए उनका उपयोग करें। समूह की दरें पहले पूर्णांक करने से अंतिम उत्तर बदल सकता है; दिखाई गई पूर्णांकित दर से हमेशा सटीक पूर्णांक गिनती नहीं मिलती। यहाँ अभ्यास के आँकड़े सटीक हैं, इसलिए वह अस्पष्टता नहीं है।
3 दरों का सीधा औसत कब ले सकते हैं?
सभी हर-भार बराबर हों तो किसी भी समूह-दरों के लिए साधारण अंकगणितीय औसत सही है। समान आकार w वाले दो समूहों की दर r और s हो, तो कुल दर (wr + ws)/(2w) = (r + s)/2 है।
बराबर भार पर्याप्त शर्त हैं, लेकिन हर स्थिति में आवश्यक नहीं। दोनों समूहों की दर समान, मान लें 30%, हो तो किसी भी धनात्मक आकारों पर कुल दर 30% ही होगी। अधिक समूहों में अन्य संयोग भी हो सकते हैं: 20%, 50%, 80% दरों और 10, 20, 10 आकारों पर (2 + 10 + 8)/40 = 50% मिलता है, जो साधारण औसत भी है। इन अपवादों के कारण बिना जाँच साधारण औसत लेना सही नियम नहीं बन जाता। वास्तविक मात्राएँ निकालें या भारों का औचित्य बताएँ।
4 सीमाएँ और अधूरी जानकारी
धनात्मक भारों वाली कुल दर सबसे छोटी और सबसे बड़ी समूह-दर के बीच होगी। समूहों की दरें सचमुच अलग हों और सभी भार धनात्मक हों, तो वह दोनों चरम मानों के सख्ती से भीतर होगी। सभी दरें समान हों तो कुल दर वही होगी। सीमा उत्तर की जाँच है, सटीक गणना का विकल्प नहीं।
केवल दो अलग समूह-दरें जानने से कुल दर नहीं मिलती। उदाहरण के लिए, 20% और 80% दरें बराबर आकार पर 50% देती हैं; लेकिन 80% वाले समूह का आकार तीन गुना हो तो कुल दर 65% है। यहाँ आकारों की तुलना गायब है; वास्तविक गिनतियाँ न होने पर भी आकारों का अनुपात पर्याप्त हो सकता है।
5 समूहों का अनुपात बदलने से कुल दर बदल सकती है
ऊँची दर वाले समूह का भार बढ़ने से कुल दर बढ़ सकती है, भले किसी समूह की अपनी दर न बढ़े। निष्कर्ष निकालने से पहले समूहों की दरें और आकार दोनों देखें। केवल कुल दर का बदलना हर व्यक्ति के सुधार का प्रमाण नहीं है और उससे कारण भी अपने-आप सिद्ध नहीं होता।
समय की तुलना में गिनती और दर भी अलग रखें। प्रयासों की संख्या अधिक तेजी से बढ़े तो सफल इकाइयों की गिनती बढ़ने के साथ सफलता-दर घट सकती है। पहले दोनों अनुपात निकालें; उनके अंतर के लिए प्रतिशत अंक लिखें।
6 चित्र पढ़ें और उसका हर बनाए रखें
तालिका में गिनती, दर या दोनों हो सकते हैं। हर स्तंभ का शीर्षक पढ़ें: “अपने आवंटन का अप्रयुक्त प्रतिशत” और “सभी आवंटित टिकटों में हिस्सा” के हर अलग हैं। गिनतियाँ जोड़ी जा सकती हैं; अलग समूह-आधार वाले प्रतिशतों को एक ही पूरी मात्रा के हिस्सों की तरह न जोड़ें।
वृत्त-आरेख किसी एक बताई पूरी मात्रा को अलग-अलग और सभी हिस्सों में बाँटता है। आरेख के हिस्से का कोण = हिस्सा × 360°। सभी टिकटों का 40% हिस्सा 144° होगा और उसकी गिनती 0.40 × कुल टिकट होगी। 40 का अर्थ यह नहीं कि उस समूह के अपने टिकटों में 40% अप्रयुक्त रहे।
संख्या-स्तंभ शून्य से शुरू होता है और उसकी ऊँचाई वस्तुओं की गिनती बताती है। परतदार संख्या-स्तंभ में हिस्सों की गिनती जोड़ने से पूरे स्तंभ की गिनती मिलती है। अप्रयुक्त हिस्सा अधिक ऊँचा होने का अर्थ अधिक अप्रयुक्त टिकट है; अपने समूह का अप्रयुक्त प्रतिशत भी अधिक हो, यह जरूरी नहीं। उस दर के लिए संबंधित पूरे स्तंभ की गिनती से भाग दें। इसके विपरीत 100% परतदार स्तंभों की कुल ऊँचाई समान होती है; वे अकेले असमान समूह-आकार नहीं बताते।
रूप बदलने के लिए: वृत्त-आरेख का कुल और हिस्से पढ़ें; हर समूह की गिनती निकालें; उसकी अपनी दर लगाएँ; इन गिनतियों की तालिका या परतदार संख्या-स्तंभ बनाएँ; फिर समूहों और पूरे आँकड़ों का कुल मिलाएँ। नीचे टिकटों का हल किया उदाहरण हर चरण दिखाता है।
चार चरणों की विधि
- हर समूह में समान अर्थ का अंश और उसका सही आधार पहचानें।
- वास्तविक अंश-मात्राएँ निकालकर समान इकाइयों में लिखें।
- अंशों और आधारों को अलग-अलग जोड़कर भाग दें।
- सीमा, कुल, चित्र के शीर्षक और समूहों के अनुपात में बदलाव की जाँच करें।
छह हल किए हुए उदाहरण
हल किया उदाहरण 1
एक कक्षा में 30 विद्यार्थी परीक्षा देते हैं और 80% पास होते हैं। दूसरी में 70 विद्यार्थी परीक्षा देते हैं और 60% पास होते हैं। दोनों को मिलाकर पास होने का प्रतिशत क्या है?
- पहली कक्षा में 30 × 0.80 = 24 विद्यार्थी पास हैं। दूसरी में 70 × 0.60 = 42 पास हैं।
- कुल 30 + 70 = 100 विद्यार्थियों में 24 + 42 = 66 पास हैं। कुल प्रतिशत = 66/100 × 100 = 66%।
- बड़ी कक्षा की दर कम है और उसका भार अधिक है। 80% तथा 60% का साधारण औसत 70% होगा।
उत्तर: 66%
जाँच और सावधानी: 66%, 60% और 80% के बीच तथा 60% के अधिक निकट है। 24 पास विद्यार्थियों को फिर से 30 से गुणा न करें।
हल किया उदाहरण 2
एक महीने में 600 इकाइयों में 24 दोषपूर्ण हैं। अगले महीने में 1000 में 30 दोषपूर्ण हैं। दोनों महीनों की अलग दरें और संयुक्त दोष-दर निकालें।
- पहली दर = 24/600 × 100 = 4%; दूसरी = 30/1000 × 100 = 3%।
- दोषपूर्ण इकाइयों की गिनती 24 से 30 बढ़ी, लेकिन जाँची कुल इकाइयाँ अधिक तेजी से बढ़ने पर दर 1 प्रतिशत अंक घटी।
- संयुक्त दर = (24 + 30)/(600 + 1000) × 100 = 54/1600 × 100 = 3.375%।
उत्तर: 4%, 3%; संयुक्त 3.375%
जाँच और सावधानी: 3.375%, 3% और 4% के बीच तथा बड़े बैच के 3% के निकट है। साधारण औसत 3.5% असमान बैचों को बराबर भार देता है।
हल किया उदाहरण 3
200 g पदार्थ में किसी घटक का द्रव्यमान प्रतिशत 30% और 300 g पदार्थ में 10% है। दोनों को बिना अभिक्रिया और बिना द्रव्यमान हानि के मिलाया जाता है। मिश्रण में घटक का द्रव्यमान प्रतिशत क्या होगा?
- पहले भाग से घटक का द्रव्यमान 200 × 0.30 = 60 g और दूसरे से 300 × 0.10 = 30 g है।
- कुल घटक 90 g और कुल मिश्रण 200 + 300 = 500 g है।
- द्रव्यमान प्रतिशत = 90/500 × 100 = 18%।
उत्तर: द्रव्यमान के अनुसार 18%
जाँच और सावधानी: भार कुल द्रव्यमान है, “दो” भागों की गिनती नहीं। उत्तर 10% और 30% के बीच है। बिना अभिक्रिया/हानि की शर्त से द्रव्यमान जोड़े जा सकते हैं; वास्तविक पदार्थ मिलाने की जरूरत नहीं है।
हल किया उदाहरण 4
दो गैर-खाली समूहों की सफलता-दरें 60% और 80% हैं। क्या संयुक्त दर 55% हो सकती है? समूहों के आकार चुने बिना समझाएँ।
- धनात्मक आकार n और m लें। संयुक्त दशमलव दर (0.60n + 0.80m)/(n + m) है।
- इसे 0.60 + 0.20m/(n + m) लिखें। 0 < m/(n + m) < 1 होने से उत्तर 0.60 और 0.80 के सख्ती से भीतर है।
- 55% निचली सीमा से भी कम है, इसलिए पूर्ण अलग-अलग समूहों के इस मॉडल में संभव नहीं।
उत्तर: नहीं
जाँच और सावधानी: n:m जाने बिना 55% को अस्वीकार कर सकते हैं, लेकिन आकारों का अनुपात जाने बिना सटीक संयुक्त दर नहीं बता सकते।
हल किया उदाहरण 5
एक आयोजन में 800 टिकट बाँटे जाते हैं: A को 40%, B को 35% और C को 25%। A अपने आवंटन का 10%, B 20% और C 5% इस्तेमाल नहीं करता। कुल कितने टिकट इस्तेमाल हुए?
एक आँकड़ा-समूह के तीन रूप
पाठ रूप: सभी 800 आवंटित टिकटों में A को 40%, B को 35% और C को 25% मिलता है। संबंधित कोण 144°, 126° और 90° हैं।
| समूह | आवंटित टिकट | अपने आवंटन का अप्रयुक्त प्रतिशत | अप्रयुक्त टिकट | प्रयुक्त टिकट |
|---|---|---|---|---|
| A | 320 | 10% | 32 | 288 |
| B | 280 | 20% | 56 | 224 |
| C | 200 | 5% | 10 | 190 |
| कुल | 800 | यह स्तंभ न जोड़ें | 98 | 702 |
पाठ रूप: A में 288 प्रयुक्त और 32 अप्रयुक्त, कुल 320 टिकट हैं। B में 224 और 56, कुल 280 हैं। C में 190 और 10, कुल 200 हैं। लंबवत अक्ष टिकटों की गिनती शून्य से 50 के अंतर पर दिखाता है; यह प्रतिशत अक्ष नहीं है। A का बड़ा पूरा स्तंभ अधिक आवंटन बताता है। B का अप्रयुक्त भाग 56/280 = 20% और A का 32/320 = 10% है।
- वृत्त-आरेख की पूरी मात्रा 800 आवंटित टिकट है। हिस्सों से A = 0.40 × 800 = 320, B = 280 और C = 200 मिलते हैं। संबंधित कोण 144°, 126° और 90° हैं; उनका योग 360° है।
- अप्रयुक्त दरें हर समूह के अपने आवंटन पर हैं। अप्रयुक्त गिनतियाँ 0.10 × 320 = 32, 0.20 × 280 = 56 और 0.05 × 200 = 10 हैं।
- हर समूह में घटाने से प्रयुक्त गिनतियाँ 288, 224 और 190 हैं। इन्हें परतदार स्तंभों में नीचे और अप्रयुक्त गिनतियों को ऊपर रखें। पूरी ऊँचाइयाँ फिर भी 320, 280 और 200 होनी चाहिए।
- कुल अप्रयुक्त 98 और कुल प्रयुक्त 702 हैं। कुल अप्रयुक्त दर = 98/800 × 100 = 12.25%; प्रयुक्त दर = 87.75%।
उत्तर: 702 टिकट इस्तेमाल हुए
जाँच और सावधानी: आवंटन के हिस्से 100% होते हैं। समूहों की अपनी अप्रयुक्त दरें 10%, 20%, 5% एक साझा पूरी मात्रा के हिस्से नहीं हैं; इन्हें न सीधे जोड़ें, न साधारण औसत लें। गिनती की जाँच: 702 + 98 = 800।
हल किया उदाहरण 6
दो उत्पादन लाइनों की सफलता-दरें स्थिर हैं: A की 90% और B की 60%। पिछले सप्ताह A ने 100 काम और B ने 300 किए। इस सप्ताह A ने 300 और B ने 100 किए। दोनों सप्ताह की कुल दर निकालें और परिवर्तन समझाएँ।
- पिछले सप्ताह सफलता = 100 × 0.90 + 300 × 0.60 = 270, कुल 400 में; इसलिए दर 67.5%।
- इस सप्ताह सफलता = 300 × 0.90 + 100 × 0.60 = 330, कुल 400 में; इसलिए दर 82.5%।
- कुल दर 82.5 − 67.5 = 15 प्रतिशत अंक बढ़ी। अब अधिक काम A के पास है, लेकिन दोनों लाइनों की अपनी दरें अपरिवर्तित हैं।
उत्तर: 67.5% से 82.5%; 15 प्रतिशत अंक बढ़ोतरी
जाँच और सावधानी: दोनों कुल दरें 60% और 90% के बीच हैं। आँकड़े काम के बँटवारे में बदलाव दिखाते हैं; वे किसी लाइन की अपनी कार्यक्षमता बढ़ना नहीं दिखाते।
दस नए अभ्यास प्रश्न
हल से पहले स्वयं प्रयास करें। सभी सही विकल्प केवल वहीं चुनें जहाँ ऐसा कहा गया है। संख्यात्मक उत्तर में माँगी प्रतिशत संख्या लिखें। चित्रों की सारी जानकारी पाठ रूप में भी दी गई है।
अभ्यास प्रश्न 1
दो निरीक्षण दल अलग-अलग इकाइयों को समान पास मानदंड से जाँचते हैं। A की 40 इकाइयों में 60% और B की 160 इकाइयों में 85% पास हैं। कुल पास प्रतिशत लिखें।
अभ्यास प्रश्न 2
तीन अलग-अलग बैचों में 50, 150 और 300 वस्तुएँ हैं। एक समान मानदंड पर उनकी स्वीकृति-दरें 40%, 60% और 90% हैं। संयुक्त स्वीकृति प्रतिशत क्या है?
A. 63⅓%
B. 76%
C. 90%
D. 190%
अभ्यास प्रश्न 3
सफलता की समान परिभाषा वाले गैर-खाली, अलग-अलग समूहों के लिए सभी सही कथन चुनें।
A. बराबर समूह-आकार होने पर समूह-दरों का साधारण औसत संयुक्त दर के बराबर होता है
B. हर समूह की दर 75% हो तो असमान आकारों पर भी संयुक्त दर 75% है
C. असमान समूह-आकार होने पर साधारण औसत हमेशा संयुक्त दर से अलग होता है
D. सफलता की गिनतियाँ जोड़ने से पहले उन्हें फिर से समूह-आकारों से गुणा करना चाहिए
अभ्यास प्रश्न 4
तालिका में सुबह 200 प्रयास और 150 सफलताएँ, शाम 400 प्रयास और 260 सफलताएँ हैं। दोनों अवधियों की सही तुलना कौन-सी है?
| अवधि | प्रयास | सफलताएँ |
|---|---|---|
| सुबह | 200 | 150 |
| शाम | 400 | 260 |
A. सफलताएँ और सफलता-दर दोनों बढ़ीं
B. सफलताएँ घटीं लेकिन सफलता-दर बढ़ी
C. सफलताएँ 110 बढ़ीं लेकिन सफलता-दर 10 प्रतिशत अंक घटी
D. सफलता-दर अपनी पुरानी दर से 10% घटी
अभ्यास प्रश्न 5
दो अलग अवधियों में पहले 450 में 36 इकाइयाँ अस्वीकृत और फिर 150 में 18 अस्वीकृत हैं। संयुक्त अस्वीकृति प्रतिशत कितना है? प्रतिशत संख्या लिखें।
| अवधि | जाँची इकाइयाँ | अस्वीकृत इकाइयाँ |
|---|---|---|
| 1 | 450 | 36 |
| 2 | 150 | 18 |
अभ्यास प्रश्न 6
दो गैर-खाली, अलग समूहों की दरें 20% और 80% हैं, लेकिन आकार या आकारों का अनुपात नहीं दिया है। संयुक्त दर के बारे में क्या कह सकते हैं?
A. वह अनिवार्यतः 50% है
B. वह 20% और 80% के सख्ती से बीच है, लेकिन सटीक मान निर्धारित नहीं है
C. वह कम-से-कम 80% है
D. आकारों का अनुपात जानना भी पर्याप्त नहीं होगा
अभ्यास प्रश्न 7
दो लाइनों की दरें A = 60% और B = 80% स्थिर हैं। अवधि 1 में उनके काम 75 और 25 हैं; अवधि 2 में 25 और 75 हैं। सभी काम अलग और समान मानदंड से गिने गए हैं। सभी सही कथन चुनें।
A. अवधि 1 में कुल दर 65% और अवधि 2 में 75% है
B. दोनों लाइनों की अपनी सफलता-दरें बढ़ीं
C. कुल बढ़ोतरी 10 प्रतिशत अंक है
D. अधिक भार ऊँची दर वाली लाइन को मिला; दिए आँकड़ों में इससे कुल परिवर्तन समझ आता है
अभ्यास प्रश्न 8
नीचे दिए अभ्यास के आवंटन वृत्त-आरेख और अप्रयुक्त दरों की तालिका का उपयोग करें। T को दिए कितने टिकट इस्तेमाल हुए?
पाठ रूप: आवंटन वृत्त-आरेख: पूरी मात्रा 1000 टिकट है। R का हिस्सा 20%, S का 30% और T का 50% है। अलग तालिका में अपने आवंटन की अप्रयुक्त दरें R 15%, S 10%, T 4% हैं।
| समूह | अपने आवंटन का अप्रयुक्त प्रतिशत |
|---|---|
| R | 15% |
| S | 10% |
| T | 4% |
A. 20
B. 480
C. 500
D. 960
अभ्यास प्रश्न 9
नीचे उपकरणों के संख्या-स्तंभ देखें। तीनों भंडारों में कुल इकाइयों का कितना प्रतिशत उधार पर होने के बजाय उपलब्ध है? प्रतिशत संख्या लिखें।
पाठ रूप: शून्य से शुरू परतदार संख्या-स्तंभ। X में 84 उधार पर और 36 उपलब्ध, कुल 120। Y में 108 उधार पर और 72 उपलब्ध, कुल 180। Z में 108 उधार पर और 92 उपलब्ध, कुल 200। हर भंडार की दोनों श्रेणियाँ अलग हैं और सभी इकाइयाँ उनमें आती हैं।
अभ्यास प्रश्न 10
तालिका में दल P को 150 प्रवेश-पास दिए गए और 120 इस्तेमाल हुए; दल Q को 450 दिए गए और 180 इस्तेमाल हुए। नया वृत्त-आरेख सभी इस्तेमाल हुए पासों में हिस्से दिखाएगा। उसमें P और Q के कौन-से प्रतिशत होंगे?
| दल | आवंटित पास | प्रयुक्त पास |
|---|---|---|
| P | 150 | 120 |
| Q | 450 | 180 |
A. 25%, 75%
B. 80%, 40%
C. 40%, 60%
D. 20%, 30%
अभ्यास के हल
हल 1
उत्तर: 80
पास गिनती = 40 × 0.60 + 160 × 0.85 = 24 + 136 = 160। कुल जाँच 200, इसलिए 160/200 × 100 = 80%। साधारण औसत 72.5%, B के चार गुना भार को अनदेखा करता है।
हल 2
उत्तर: B
स्वीकृत गिनतियाँ 20, 90 और 270 हैं; कुल 500 में 380। दर 76% है। 90% दर वाले सबसे बड़े बैच का भार सर्वाधिक है।
- A: A बिना आधारों के तीन दरों का औसत लेता है।
- B: B स्वीकृत गिनतियाँ जोड़कर सभी वस्तुओं से भाग देता है।
- C: C केवल सबसे बड़े बैच की दर लेता है।
- D: D अलग समूहों पर लागू प्रतिशतों को जोड़ता है।
हल 3
उत्तर: A, B
बराबर आकारों से हर के भार बराबर होते हैं। समान दरें भार लगाने पर भी वही रहती हैं। इसलिए बराबर भार पर्याप्त शर्त हैं, हर विशेष स्थिति में आवश्यक शर्त नहीं। गिनतियों में समूह-आकार पहले ही शामिल हैं।
- A: A में साझा भार काटा जा सकता है।
- B: B में कुल अंश से 0.75 साझा बाहर लिया जा सकता है।
- C: B, C का प्रतिउदाहरण है।
- D: D भार दो बार लगाकर अंश का अर्थ बदलता है।
हल 4
उत्तर: C
दरें 150/200 = 75% और 260/400 = 65% हैं। गिनती 110 बढ़ी, जबकि दर 10 प्रतिशत अंक घटी। सापेक्ष कमी 10/75 × 100 = 13⅓% है, 10% नहीं।
- A: A गिनती बढ़ने को दर बढ़ना मानता है।
- B: B दोनों दिशाएँ उलटता है।
- C: C संबंधित दरों और गिनतियों की सही तुलना है।
- D: D प्रतिशत अंक को सापेक्ष प्रतिशत मानता है।
हल 5
उत्तर: 9
अवधियों की दरें 8% और 12% हैं। अस्वीकृत और जाँची गई इकाइयाँ अलग जोड़ें: (36 + 18)/(450 + 150) × 100 = 54/600 × 100 = 9%। पहली अवधि में तीन गुना इकाइयाँ होने से उत्तर 8% के निकट है।
हल 6
उत्तर: B
अलग दरों के धनात्मक भारों से उत्तर चरम मानों के सख्ती से भीतर है। बराबर भार 50% और 1:3 भार 65% देते हैं, इसलिए एक उत्तर तय नहीं। आकारों का अनुपात भारों को साझा गुणक तक तय कर देगा; वह गुणक कट जाता है।
- A: A बिना आधार बराबर आकार मानता है।
- B: B सही सीमा और अनुपलब्ध जानकारी बताता है।
- C: C ऊपरी सीमा तोड़ता है।
- D: D साझा गुणक के कटने को अनदेखा करता है।
हल 7
उत्तर: A, C, D
अवधि 1 में 100 में 45 + 20 = 65 सफलताएँ हैं। अवधि 2 में 100 में 15 + 60 = 75 हैं। समूह-दरें ठीक 60% और 80% ही रहीं; केवल भार बदले।
- A: A दोनों अवधियों के सही भार उपयोग करता है।
- B: B दी गई स्थिर दरों के विपरीत है।
- C: C, 75% और 65% का अंतर है।
- D: D व्यक्तिगत सुधार का दावा किए बिना समूह-अनुपात का उचित कारण बताता है।
हल 8
उत्तर: B
वृत्त-आरेख से T को कुल 1000 का 50%, अर्थात 500 टिकट मिलते हैं। तालिका में T के अपने आवंटन का 4% अप्रयुक्त है: 0.04 × 500 = 20। प्रयुक्त = 500 − 20 = 480।
- A: A, T की अप्रयुक्त गिनती है।
- B: B दोनों क्रमिक आधार सही रखता है।
- C: C अप्रयुक्त टिकट घटाने से पहले T का आवंटन है।
- D: D, 96% को T के हिस्से के बजाय पूरे 1000 पर लगाता है।
हल 9
उत्तर: 40
उपलब्ध हिस्से पढ़ें: 36 + 72 + 92 = 200। पूरे स्तंभों के कुल 120, 180 और 200 हैं, अर्थात 500 इकाइयाँ। कुल उपलब्ध प्रतिशत = 200/500 × 100 = 40%। तीन भंडारों की दरें 30%, 40%, 46% सीधे औसत करने से असमान भंडारों को बराबर भार मिलेगा।
हल 10
उत्तर: C
नई पूरी मात्रा सभी इस्तेमाल हुए पास हैं: 120 + 180 = 300। P का हिस्सा 120/300 = 40% और Q का 180/300 = 60% है। चित्र का बताया उद्देश्य बदलने पर हर बदलता है।
- A: A सभी आवंटित पासों के हिस्से दिखाता है; पूरी मात्रा अलग है।
- B: B हर दल की अपनी उपयोग-दर है; ये एक पूरी मात्रा के हिस्से नहीं।
- C: C में साझा पूरी मात्रा 300 प्रयुक्त पास है और योग 100% है।
- D: D हर प्रयुक्त गिनती को सभी 600 आवंटित पासों से भाग देता है और अप्रयुक्त श्रेणी छोड़ता है।
गलती देखकर अगला कदम चुनें
प्रश्न 1–3: भारित अंश फिर बनाइए और साधारण औसत की शर्तें देखिए। प्रश्न 4–5: गिनती और दर अलग रखकर अवधियों के हर पहचानिए। प्रश्न 6: अनुमान लगाने के बजाय गायब भार बताइए। प्रश्न 7: समूह-दरों को समूह-अनुपात से अलग देखिए। प्रश्न 8–10: गणना से पहले हर चित्र या तालिका की पूरी मात्रा लिखिए।
हर इकाई की एक गिनती
हर जाँची इकाई के लिए एक टोकन सोचें: स्वीकृत के लिए हरा और अस्वीकृत के लिए धूसर। बैचों को मिलाने का अर्थ उनके सभी टोकन एक साथ रखना है। 300 इकाइयों वाला बैच, 50 इकाइयों वाले बैच से अधिक टोकन देगा। केवल दो प्रतिशत-लेबल होने से उन्हें बराबर भार नहीं मिलता।
यह तस्वीर गिनती पर आधारित भार समझाती है। द्रव्यमान प्रतिशत में हर वस्तु के टोकन के बजाय द्रव्यमान की बराबर छोटी इकाइयाँ सोचें; डिब्बों की संख्या से भार न दें। उपमा दोहराए रिकॉर्ड, सफलता की अलग परिभाषाएँ या गायब आँकड़े ठीक नहीं कर सकती। वह यह भी नहीं कहती कि कुल दर बढ़ने पर हर समूह सुधरा: ऊँची दर वाले समूह के अधिक टोकन आने से मिली हुई दर बदल सकती है, जबकि हर समूह का नियम स्थिर रहे।
सूत्र और नियम
- हर अंश को उसके अपने धनात्मक हर से जोड़ें
- कुल दर = अंशों का कुल/संबंधित हरों का कुल
- दशमलव दरों को उनके हरों का भार दें, फिर कुल भार से भाग दें
- बराबर भार साधारण औसत की गारंटी हैं; समान दरें और अन्य संयोग दिखाते हैं कि बराबर भार हमेशा आवश्यक नहीं
- धनात्मक भारों में मिली हुई दर समूहों के चरम मानों के भीतर है; अलग दरों पर वह सख्ती से बीच में होगी
- समूह-आकारों का अनुपात अज्ञात हो तो सामान्यतः सटीक कुल दर भी अज्ञात है
- समूह की अपनी दर और समूहों के अनुपात का बदलाव अलग देखें
- वृत्त-आरेख एक बताई पूरी मात्रा बाँटता है; परतदार संख्या-स्तंभ शून्य से हिस्सों की गिनतियाँ जोड़ता है
- आवंटन का हिस्सा, अपने समूह की उपयोग-दर और सभी प्रयुक्त वस्तुओं में हिस्सा अलग हर रख सकते हैं
- साझा सदस्यों वाले समूह या असंगत इकाइयाँ/परिभाषाएँ स्पष्ट मॉडल बिना न जोड़ें
अवधारणा संदर्भ: OpenStax Introductory Statistics 2e, खंड 2.5, आवृत्ति-भारित औसत; खंड 1.2, श्रेणीगत गिनतियाँ, प्रतिशत, वृत्त और स्तंभ आरेख। कुल दर का संबंध यहाँ वास्तविक अंश और हर से निकाला गया है।
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