सादृश्यता और वर्गीकरण में संख्या तथा अक्षर नियम

आप क्या सीखेंगे

आप संख्या-नियमों को दिए गए उदाहरणों पर जाँचना, साझा गुण से संख्याओं का वर्गीकरण करना और बीच में नियम बदले बिना अंग्रेज़ी वर्णमाला के स्थानों का उपयोग करना सीखेंगे। पहले संबंधों वाला पाठ पढ़ें। जोड़, गुणा और छोटी संख्याओं के वर्ग–घन का आधार चाहिए; वर्णमाला के स्थानों का संक्षिप्त परिचय यहीं दिया गया है।

संख्यात्मक सादृश्यता से यह सिद्ध नहीं होता कि केवल एक ही सूत्र की कल्पना संभव है। एक जोड़े पर कई नियम लागू हो सकते हैं। इन अभ्यासों में सरल और सुसंगत नियम खोजें, हर दिए गए जोड़े पर उसे जाँचें और विकल्पों की तुलना करें। किसी विकल्प को सही बनाने के लिए अलग अपवाद न जोड़ें।

1 पूर्वज्ञान अंग्रेज़ी वर्णमाला के स्थान

प्रश्न हिंदी में दिखने पर भी अंग्रेज़ी वर्णमाला का प्रयोग करें। दोनों भाषा-रूपों में अक्षर स्वयं नहीं बदलते।

A=1, B=2, C=3, D=4, E=5, F=6, G=7, H=8, I=9, J=10, K=11, L=12, M=13

N=14, O=15, P=16, Q=17, R=18, S=19, T=20, U=21, V=22, W=23, X=24, Y=25, Z=26

स्थानों में 3 का अंतर होने का अर्थ तीन स्थान आगे बढ़ना है: C(3) → F(6)। इसका अर्थ यह नहीं कि C और F के बीच तीन अक्षर हैं; इनके बीच केवल D और E हैं।

पूर्वज्ञान की जाँच: Q का स्थान क्या है और F तथा L के ठीक बीच कितने अक्षर हैं?

उत्तर: Q=17। F(6) और L(12) के बीच 12−6−1=5 अक्षर हैं: G, H, I, J, K।

इस पाठ के सभी अक्षर-परिवर्तन A से Z के भीतर हैं। यह अपने आप न मानें कि Z से आगे बढ़ने पर A आता है। ऐसे चक्रीय परिवर्तन वाले प्रश्न में यह नियम स्पष्ट होना चाहिए।

2 संख्या-नियम हर जोड़े पर जाँचिए

दो जोड़े दिए हैं: 4 → 17 और 6 → 37। पूरा करें: 9 → ?

A. 82 B. 81 C. 55 D. 19

उत्तर A, 82। वर्ग करके एक जोड़ने का नियम दोनों पर सही है: 4²+1=17 और 6²+1=37। वही दो कदम 9 पर लगाएँ: 9²+1=82।

81 में वर्ग करने के बाद एक जोड़ना छूट गया है। 19, 2×9+1 से मिलता है, लेकिन यही नियम पहले पद 4 पर 17 के स्थान पर 9 देता है। केवल अंतिम पद या एक उदाहरण पर सही होना पर्याप्त नहीं।

संभावित संबंधों में जोड़–घटाव, गुणा–भाग, वर्ग, घन और छोटे संयुक्त नियम आते हैं। पहले किसे जाँचें, यह दी गई संख्याओं पर निर्भर करता है। हर प्रश्न में “पहले वर्ग, फिर घन, फिर ×2” का अनिवार्य क्रम नहीं है।

3 संक्रियाओं का क्रम समान रखिए

3 → 10 और 5 → 16 दिए हैं। पूरा करें: 8 → ?

A. 24 B. 25 C. 26 D. 64

उत्तर B, 25। नियम 3n+1 दोनों दिए जोड़ों पर सही है। n=8 के लिए पहले गुणा करें, फिर एक जोड़ें: 3×8+1=25। नियम 3(n+1) अलग है: वह 3 पर 10 के स्थान पर 12 देता है।

मन में गणना पर संदेह हो तो छोटी सारणी बनाएँ: प्रारंभिक संख्या, संक्रिया, परिणाम। रिक्त मान पर लगाने से पहले प्रस्तावित नियम मूल जोड़ों पर जाँचें।

यदि नियम सीधे दिया हो तो कोई दूसरा गढ़ने के बजाय उसी का पालन करें। “घन कीजिए” नियम के अंतर्गत 3 → 27 और 5 → 125 उसके अनुप्रयोग हैं; वे इस बात का प्रमाण नहीं कि इन जोड़ों में घन करना ही एकमात्र संभव संबंध है।

4 संख्या वर्गीकरण गुणों की तुलना कीजिए

दिया गया गुण “पूर्ण वर्ग” हो तो 9, 16, 25 और 35 का प्रश्न स्पष्ट है: 35 अलग है, क्योंकि 9=3², 16=4² और 25=5² हैं, जबकि 35 पूर्ण वर्ग नहीं है।

किसी एक संख्या के सम होने के कारण मानदंड बदलकर सम–विषम मत कर दें। इस अभ्यास में दिया गया मानदंड लागू होगा। बिना बताए मानदंड वाले प्रश्न में जाँचें कि प्रस्तावित गुण वास्तव में तीन विकल्पों को एक समूह में रखता है और विकल्पों के संदर्भ में उचित है।

ये भेद याद रखें:

• अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक भाजक होते हैं: 1 और स्वयं वह संख्या
• 1 न अभाज्य है, न भाज्य
• 2 सम होते हुए भी अभाज्य है
• वर्ग और घन अलग गुण हैं; 64 जैसी कुछ संख्याएँ दोनों गुण रखती हैं

मानदंड “पूर्ण घन” हो तो 8, 27, 64 और 100 में 100 अलग है। 64 को वर्ग कहने से उसका 4³ होना समाप्त नहीं होता।

5 अक्षर परिवर्तन हर स्थान जाँचिए

हल सहित उदाहरण: BD : EG :: HJ : ?

A. KL B. JM C. KM D. IM

उत्तर C, KM। हर अक्षर तीन स्थान आगे जाता है: B(2)→E(5) और D(4)→G(7)। इसलिए H(8)→K(11) और J(10)→M(13)। दोनों स्थानों पर नियम सही होना चाहिए।

किसी दूसरे प्रश्न में क्रम उलटना हो सकता है। दिया गया नियम “जोड़े का क्रम उलटें, फिर हर अक्षर एक स्थान आगे बढ़ाएँ” हो तो JL पहले LJ और फिर MK बनेगा। केवल क्रम उलटने से LJ मिलेगा; बिना क्रम उलटे स्थान बढ़ाने से KM मिलेगा। ये अलग संक्रियाएँ हैं।

दो कदमों का नियम हर बार उसी क्रम में जाँचना चाहिए। इस दिए नियम पर BD → DB → EC और FG → GF → HG दो अतिरिक्त जाँच हैं।

6 अक्षर वर्गीकरण भीतरी अंतर

हर जोड़े के दोनों अक्षरों के वर्णमाला-स्थानों का अंतर जाँचें: AC, DF, GI, JN।

AC में अंतर 3−1=2; DF में 6−4=2; GI में 9−7=2; JN में 14−10=4 है। इस मानदंड पर JN अलग है।

“स्थानों का अंतर” और “बीच में आने वाले अक्षर” समान नहीं हैं। AC में स्थानों का अंतर 2 है, लेकिन A और C के बीच केवल B आता है। प्रश्न में जो राशि पूछी गई हो, उसी का उपयोग करें।

उत्तर देने से पहले संक्रिया या गुण लिखें, हर दिए उदाहरण पर जाँचें और फिर चुना विकल्प सत्यापित करें। छोटा तरीका तभी उपयोगी है जब उसकी शर्तें पूरी हों।

स्वतंत्र जाँच

उत्तरमाला से पहले सभी छह हल करें। दोनों भाषाओं में अंग्रेज़ी वर्णमाला और उसके स्थान समान हैं।

1. जोड़े हैं 2 → 7 और 4 → 13। उसी सरल नियम से 7 → ?

A. 21 B. 22 C. 28 D. 24

2. जोड़े हैं 3 → 10 और 6 → 37। उसी सरल नियम से कौन-सा विकल्प 8 → ? पूरा करता है?

A. 16 B. 64 C. 65 D. 73

3. “पूर्ण घन” के मानदंड पर कौन-सी संख्या अलग है?

A. 27 B. 64 C. 125 D. 150

4. किस जोड़े के दोनों अंग्रेज़ी अक्षरों के वर्णमाला-स्थानों का अंतर बाकी से अलग है?

A. AD B. CF C. HK D. MQ

5. CE : FH :: KM : ? हर अक्षर समान स्थान आगे जाता है; चक्रीय परिवर्तन नहीं है।

A. NP B. MP C. NO D. PN

6. नियम: दोनों अक्षरों का क्रम उलटें, फिर हर अक्षर एक स्थान आगे बढ़ाएँ। LM क्या बनेगा?

A. MN B. NO C. OM D. NM

व्याख्या सहित उत्तरमाला

1. B — 3n+1 दोनों पर सही है: 3×2+1=7 और 3×4+1=13। इससे 3×7+1=22 मिलता है।
2. C — n²+1 दोनों दिए जोड़ों पर सही है। 8 के लिए 64+1=65; 64 में अंतिम जोड़ छूट गया है।
3. D — 27=3³, 64=4³ और 125=5³ हैं। 150 पूर्ण घन नहीं है।
4. D — AD, CF और HK में स्थानों का अंतर 3 है। MQ में अंतर 17−13=4 है।
5. A — C→F और E→H में +3 का परिवर्तन है। इसलिए K→N और M→P से NP मिलता है।
6. D — LM का उलटा ML है; फिर M→N और L→M से NM मिलता है।

स्रोत और सीमा

RRB CEN 09/2025, खंड 14.1, पृ. 28 में तर्कशक्ति के अंतर्गत सादृश्यता और वर्गीकरण दिए हैं। यहाँ के परिवर्तन, उदाहरण और प्रश्न मौलिक शिक्षण अभ्यास हैं। ये आधिकारिक पूर्व-वर्षीय प्रश्न या तर्कशक्ति का संपूर्ण पाठ्यक्रम नहीं हैं।

उदाहरण से समझें

नियम को हर प्रारंभिक मान पर लागू होने वाला एक समान गणना-निर्देश समझें। निर्देश “वर्ग करें, फिर एक जोड़ें” हो तो 4 से 17 और 6 से 37 मिलते हैं। 9 पर भी दोनों कदम रखें; परिणाम 82 होगा। यह उदाहरण सुसंगतता समझाता है; इससे यह सिद्ध नहीं होता कि सीमित जोड़े केवल एक ही संभव सूत्र तय करते हैं।

सूत्र और नियम

संख्या और अक्षर नियम संक्षिप्त संदर्भ

• सरल नियम बताकर प्रयोग से पहले हर दिए जोड़े पर जाँचें
• संक्रियाओं का क्रम बनाए रखें; 3n+1 और 3(n+1) अलग हैं
• कुछ उदाहरण सभी कल्पनीय सूत्रों में एकमात्रता सिद्ध नहीं करते
• अभाज्य के ठीक दो धनात्मक भाजक होते हैं; 1 न अभाज्य है, न भाज्य
• संख्या वर्ग और घन दोनों हो सकती है; दिया वर्गीकरण-मानदंड अपनाएँ
• अंग्रेज़ी वर्णमाला: A=1 से Z=26; हिंदी प्रश्नों में भी वही लैटिन अक्षर रखें
• स्थानों का अंतर दोनों अक्षरों के ठीक बीच के अक्षरों की संख्या नहीं है
• स्थान a<b हों तो ठीक बीच के अक्षर = b−a−1
• क्रम उलटना और स्थान बदलना अलग कदम हैं; दिया क्रम बनाए रखें
• स्पष्ट निर्देश के बिना A/Z से बाहर चक्रीय परिवर्तन न मानें