3, 9 और 11 से विभाज्यता: नियम, लुप्त अंक और आम गलतियाँ

सीखने का लक्ष्य

इस नोट से विभाज्यता जाँचना, लुप्त अंक के सभी मान निकालना और नियमों में भ्रम से बचना सीखें। विभाज्यता का अर्थ है: भाग देने पर शेषफल 0 होना।

तीन नियम

3 से: कोई संख्या 3 से तभी विभाज्य होती है, जब उसके सभी अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।

9 से: कोई संख्या 9 से तभी विभाज्य होती है, जब उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य हो। योग बड़ा हो तो उसके अंक दोबारा जोड़ सकते हैं।

दोनों का संबंध: 9 से विभाज्य संख्या 3 से भी विभाज्य होती है, क्योंकि 9 = 3 × 3। इसका उलटा सही नहीं: 12, 3 से विभाज्य है, लेकिन 9 से नहीं।

11 से: बाएँ से स्थान 1, 3, 5, … के अंक जोड़ें; अलग से स्थान 2, 4, 6, … के अंक जोड़ें। पहले योग से दूसरा योग घटाएँ। संख्या 11 से तभी विभाज्य है, जब यह अंतर 0 या 11 का कोई अन्य गुणज हो: 11, -11, 22, -22, …।

शून्य मान्य है, क्योंकि 0 = 11 × 0। ऋणात्मक गुणज भी मान्य हैं। दूसरे सिरे से शुरू करने पर अंतर का चिह्न बदल सकता है, लेकिन विभाज्यता का निष्कर्ष नहीं। बारी-बारी से स्थान चुनें; अंकों के मान सम या विषम देखकर समूह न बनाएँ।

लुप्त अंक 0 से 9 तक हो सकता है; बताई गई बहुअंकीय संख्या का पहला अंक 0 नहीं हो सकता। संख्या में अक्षर किसी अंक की जगह है, गुणा का संकेत नहीं।

चार हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — 3 और 9 की जाँच: 5724

अंकों का योग = 5 + 7 + 2 + 4 = 18। इसलिए 5724, 3 और 9 दोनों से विभाज्य है। पुष्टि: 5724 ÷ 3 = 1908; 5724 ÷ 9 = 636।

उदाहरण 2 — अंतर शून्य: 38126

अंतर = (3 + 1 + 6) - (8 + 2) = 0। इसलिए 38126, 11 से विभाज्य है। पुष्टि: 38126 ÷ 11 = 3466।

उदाहरण 3 — ऋणात्मक अंतर: 2728

अंतर = (2 + 2) - (7 + 8) = -11। यह 11 का गुणज है, इसलिए संख्या विभाज्य है। पुष्टि: 2728 ÷ 11 = 248।

उदाहरण 4 — लुप्त अंक के सभी मान

63x9 को 9 से विभाज्य बनाने वाले सभी अंक x ज्ञात करें। अंकों का योग 18 + x है, जिसकी सीमा 18 से 27 है। इसमें 9 के गुणज 18 और 27 हैं। इसलिए x = 0 या 9, जिससे 6309 और 6399 मिलते हैं। कोई अन्य अंक मान्य नहीं।

आम गलतियाँ

केवल अंतिम अंक की जाँच न करें। 11 के लिए सभी अंकों का साधारण योग न लें। बारी-बारी से जोड़ते समय शून्य वाले स्थान न हटाएँ।

शून्य या ऋणात्मक अंतर को गलत न मानें। यह न मानें कि 3 से विभाज्य संख्या 9 से भी विभाज्य होगी।

लुप्त अंक के लिए सीमा में आने वाले सभी गुणज जाँचें और शुरुआती शून्य वाले अमान्य मान छोड़ दें। मिले अंक रखकर पुष्टि करें; दो शर्तें हों तो दोनों पूरी करें।

अभ्यास प्रश्न

हर प्रश्न में केवल एक सही विकल्प चुनें।

1. कौन-सी संख्या 3 से विभाज्य है, लेकिन 9 से नहीं? A) 4518; B) 4521; C) 4523; D) 4525।

2. किस अंक x के लिए 72x4, 9 से विभाज्य है? A) 2; B) 3; C) 4; D) 5।

3. किस अंक x के लिए 6x38, 11 से विभाज्य है? A) 1; B) 2; C) 5; D) 9।

4. कौन-सी संख्या 11 से विभाज्य है? A) 2817; B) 2819; C) 2827; D) 2829।

5. x के कितने मानों के लिए x42, 3 से विभाज्य तीन-अंकीय संख्या है? A) 2; B) 3; C) 4; D) 5।

6. अंक x और y वाली संख्या 5x4y, 9 और 11 दोनों से विभाज्य है। x + y कितना है? A) 0; B) 3; C) 9; D) 18।

उत्तर और व्याख्या

1. B — 4521। अंकों के योग क्रमशः 18, 12, 14 और 16 हैं। केवल 12, 3 से विभाज्य है, लेकिन 9 से नहीं।

2. D — 5। योग 13 + x की सीमा 13 से 22 है। इसमें 9 का एकमात्र गुणज 18 है, इसलिए x = 5।

3. A — 1। अंतर (6 + 3) - (x + 8) = 1 - x है। -8 से 1 के बीच 11 का एकमात्र गुणज 0 है, इसलिए x = 1।

4. C — 2827। बारी-बारी से लिए अंकों के योगों का अंतर क्रमशः -12, -14, -11 और -13 है। केवल -11, 11 का गुणज है।

5. B — 3। योग x + 6 है। मान्य अंक 3, 6 और 9 हैं। शून्य योग की शर्त पूरी करता है, लेकिन उससे तीन-अंकीय संख्या नहीं बनती।

6. C — 9। 11 की जाँच में अंतर 9 - (x + y), -9 से 9 के बीच है। केवल 0 मान्य है, इसलिए x + y = 9। तब अंकों का योग 18 है, इसलिए 9 की शर्त भी पूरी है।