प्रतिशत का आधार और क्रमिक परिवर्तन: आम गलतियों से बचें

इस नोट में, सबसे पहले पूछें: 100% का आधार क्या है? गणना में हर के स्थान पर संदर्भ मात्रा आती है, न कि हमेशा बड़ी मात्रा।

मान्यताएँ: मान लें कि मूल मात्रा धनात्मक है, इकाइयाँ समान हैं और कोई अतिरिक्त निश्चित मात्रा नहीं जोड़ी या घटाई गई है। हर क्रमिक परिवर्तन ठीक पिछले मान पर लागू होता है। मूल मान निकालने के लिए संयुक्त गुणक शून्य नहीं होना चाहिए। सभी गणनाएँ सटीक हैं।

सही विधि चुनें

प्रश्न का प्रकार	गणना	आधार या सावधानी
A, B का कितना प्रतिशत है?	A ÷ B × 100	B संदर्भ मात्रा है।
प्रतिशत परिवर्तन	(नया मान − पुराना मान) ÷ पुराना मान × 100	शुरुआती मान को आधार लें।
दर: p% से q%	q − p प्रतिशत-अंक	सापेक्ष प्रतिशत परिवर्तन: (q − p) ÷ p × 100, जहाँ p > 0।
दो क्रमिक परिवर्तन	दोनों गुणकों का गुणा करें	दूसरे परिवर्तन का आधार नया मान है।
मूल मान निकालना	अंतिम मान ÷ संयुक्त गुणक	भाग दें; वही प्रतिशत घटाकर मूल मान न निकालें।

r% की वृद्धि के लिए गुणक 1 + r/100 होता है; कमी के लिए 1 − r/100। नया मान, मूल मान में उसी का बताया गया अंश जोड़ने या घटाने से मिलता है। यदि संयुक्त गुणक M है, तो कुल प्रतिशत परिवर्तन (M − 1) × 100 होगा; ऋणात्मक परिणाम कमी दर्शाता है।

अंतर स्पष्ट करने वाले चार हल सहित उदाहरण

उदाहरण 1 — अंतर समान, लेकिन हर अलग

दो पट्टियों की लंबाइयाँ 120 cm और 150 cm हैं। अंतर = 150 − 120 = 30 cm।

बड़ी पट्टी, छोटी पट्टी से 30 ÷ 120 × 100 = 25% अधिक लंबी है। छोटी पट्टी, बड़ी पट्टी से 30 ÷ 150 × 100 = 20% कम लंबी है। वहीं, 120 ÷ 150 × 100 = 80% बताता है कि छोटी लंबाई, बड़ी लंबाई की कितनी प्रतिशत है; यह कमी का प्रतिशत नहीं है। “की तुलना में” या “से अधिक/कम” जैसे शब्द संदर्भ मात्रा पहचानने में मदद करते हैं।

उदाहरण 2 — प्रतिशत-अंक और प्रतिशत में अंतर

कार्य पूरा करने की दर 40% से बढ़कर 50% हो जाती है।

अंतर = 50 − 40 = 10 प्रतिशत-अंक। शुरुआती दर के सापेक्ष वृद्धि = 10 ÷ 40 × 100 = 25%, न कि 10%। घटाने से दरों का सीधा अंतर मिलता है; शुरुआती दर से भाग देने पर उसी की तुलना में हुई वृद्धि मापी जाती है।

उदाहरण 3 — क्रमिक परिवर्तन सीधे नहीं जुड़ते

100 इकाइयों से शुरू करके पहले 20% और फिर 10% की वृद्धि करने पर 100 × 1.20 = 120, फिर 120 × 1.10 = 132 मिलता है। कुल वृद्धि = (132 − 100) ÷ 100 × 100 = 32%, न कि 30%।

इसके विपरीत, पहले 20% वृद्धि और फिर 20% कमी करें: 100 × 1.20 = 120; 120 × 0.80 = 96। कुल कमी = (100 − 96) ÷ 100 × 100 = 4%। कमी में 24 इकाइयाँ घटीं, जबकि वृद्धि में केवल 20 इकाइयाँ जुड़ी थीं। r% वृद्धि और r% कमी के लिए, जहाँ 0 < r < 100, गुणक (1 + r/100)(1 − r/100) = 1 − (r/100)² होता है; कुल कमी = (r²/100)%।

उदाहरण 4 — भाग देकर मूल मान निकालें

25% वृद्धि और फिर 12% कमी के बाद कोई मात्रा 220 इकाइयाँ हो जाती है।

गुणक = 1.25 × 0.88 = 1.10, अर्थात कुल 10% वृद्धि। मूल मान = 220 ÷ 1.10 = 200 इकाइयाँ। जाँच: 200 × 1.25 = 250; 250 × 0.88 = 220। इसके बजाय 10% घटाने पर 220 × 0.90 = 198 मिलता है: इसमें गलत तरीके से 220 को आधार बनाया गया है।

अभ्यास प्रश्न

1. 80 cm की लंबाई, 50 cm से कितने प्रतिशत अधिक है? 50 cm की लंबाई, 80 cm से कितने प्रतिशत कम है?
2. कार्य पूरा करने की दर 60% से बढ़कर 72% हो जाती है। प्रतिशत-अंकों में वृद्धि और सापेक्ष प्रतिशत वृद्धि निकालें।
3. 400 इकाइयों की मात्रा पहले 25% बढ़ती है, फिर 25% घटती है। अंतिम मात्रा और कुल प्रतिशत परिवर्तन निकालें।
4. कोई मात्रा पहले 20% घटती है, फिर 10% बढ़कर 264 इकाइयाँ हो जाती है। उसका मूल मान निकालें।

हल सहित उत्तर

1. अंतर = 80 − 50 = 30 cm। अधिक लंबाई: 30 ÷ 50 × 100 = 60%। कम लंबाई: 30 ÷ 80 × 100 = 37.5%। दोनों तुलनाओं में संदर्भ लंबाई अलग है।
2. वृद्धि = 72 − 60 = 12 प्रतिशत-अंक। शुरुआती दर को आधार लेने पर सापेक्ष वृद्धि = 12 ÷ 60 × 100 = 20%।
3. पहले: 400 × 1.25 = 500। फिर: 500 × 0.75 = 375 इकाइयाँ। परिवर्तन = (375 − 400) ÷ 400 × 100 = −6.25%, अर्थात 6.25% की कमी।
4. गुणक = 0.80 × 1.10 = 0.88। मूल मान = 264 ÷ 0.88 = 300 इकाइयाँ। जाँच: 300 × 0.80 = 240; 240 × 1.10 = 264।

दोहराते समय जाँचें

संदर्भ मात्रा पहचानें; हिस्से, परिवर्तन और प्रतिशत-अंक में अंतर करें; क्रमिक परिवर्तनों के गुणकों का गुणा करें; मूल मान निकालने के लिए भाग दें; फिर परिवर्तनों को उसी क्रम में लागू करके उत्तर जाँचें।