प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्णांक, परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ — एक सही उत्तर वाला अभ्यास

1. प्रश्न 1
   −√196 को सरल करने के बाद, प्राकृतिक, पूर्ण, पूर्णांक, परिमेय, अपरिमेय और वास्तविक संख्याओं में से उसके सभी लागू वर्ग कौन-से हैं?
   • Aप्राकृतिक, पूर्ण, पूर्णांक, परिमेय और वास्तविक
   • Bकेवल परिमेय और वास्तविक
   • Cपूर्णांक, परिमेय और वास्तविकसही उत्तर
   • Dकेवल अपरिमेय और वास्तविक
   व्याख्या

   √196 = 14, इसलिए −√196 = −14। यह पूर्णांक है और −14 = −14/1 होने से परिमेय भी है। प्रत्येक परिमेय संख्या वास्तविक होती है। ऋणात्मक होने के कारण यह प्राकृतिक या पूर्ण संख्या नहीं है। कोई परिमेय संख्या अपरिमेय नहीं हो सकती।

   A: ऋणात्मक पूर्णांक न प्राकृतिक होता है, न पूर्ण संख्या।
   B: इस सूची में लागू वर्ग पूर्णांक छूट गया है।
   D: वर्गमूल का चिह्न होने से संख्या अपरिमेय नहीं हो जाती; यह वर्गमूल सरल होकर पूर्णांक बनता है।

2. प्रश्न 2
   x = 0.1666… में केवल अंक 6 दोहरता है। कौन-सा घटाव सही है और सीधे सिद्ध करता है कि x = 1/6 है?
   • A10x − x = 1
   • B100x − x = 16
   • C100x − 10x = 15सही उत्तर
   • D100x − 10x = 16
   व्याख्या

   10x = 1.666… और 100x = 16.666…। दोनों में दशमलव के बाद दोहराने वाले हिस्से समान हैं, इसलिए 100x − 10x = 15। अतः 90x = 15 और x = 15/90 = 1/6। शुरुआती अंक 1 दोहराने वाले समूह का हिस्सा नहीं है।

   A: वास्तविक अंतर 1.666… − 0.1666… = 1.5 है, 1 नहीं।
   B: वास्तविक अंतर 16.666… − 0.1666… = 16.5 है, 16 नहीं।
   D: पूर्णांक भागों को घटाने पर 16 − 1 = 15 मिलता है, 16 नहीं।

3. प्रश्न 3
   मानें a = √7, b = −√7 और c = √28 हैं। कौन-सा कथन a + b और ac का सही वर्गीकरण करता है?
   • Aa + b और ac दोनों परिमेय हैं।सही उत्तर
   • Ba + b परिमेय है और ac अपरिमेय है।
   • Ca + b और ac दोनों अपरिमेय हैं।
   • Da + b अपरिमेय है और ac परिमेय है।
   व्याख्या

   a + b = √7 − √7 = 0 = 0/1, जो परिमेय है। साथ ही c = √28 = 2√7, इसलिए ac = √7 × 2√7 = 14, जो परिमेय है। दी गई संख्याएँ अपरिमेय हैं, फिर भी ये परिणाम परिमेय हैं। इसका अर्थ यह नहीं कि ऐसे परिणाम हमेशा परिमेय होंगे: a + c = 3√7 अपरिमेय है और √7 × √2 = √14 भी अपरिमेय है।

   B: गुणनफल ac सरल होकर पूर्णांक 14 बनता है।
   C: यहाँ दोनों संक्रियाओं से परिमेय मान 0 और 14 मिलते हैं।
   D: योग a + b शून्य है, जो परिमेय है।

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