अभाज्य, भाज्य और सह-अभाज्य संख्याएँ

सीखने का परिणाम

अभाज्य और भाज्य संख्याएँ पहचानें, सरल अभाज्यता-जाँच का कारण समझें और अभाज्य संख्या को सह-अभाज्य जोड़ी से अलग समझें।

अवधारणाएँ और उनके कारण

धनात्मक भाजक संख्या को पूरा विभाजित करता है, यानी शेषफल 0 रहता है। अभाज्य संख्या 1 से बड़ा पूर्णांक है जिसके ठीक दो धनात्मक भाजक हों: 1 और स्वयं संख्या। भाज्य संख्या 1 से बड़ा पूर्णांक है जिसके दो से अधिक धनात्मक भाजक हों।

1 न अभाज्य है, न भाज्य: उसका केवल एक धनात्मक भाजक है। शून्य और ऋणात्मक पूर्णांक भी इन परिभाषाओं में नहीं आते।

2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है। उससे बड़े सम पूर्णांक में 1 और स्वयं संख्या के अलावा भाजक 2 भी होता है। लेकिन 1 से बड़ा विषम पूर्णांक जरूरी नहीं कि अभाज्य हो; उसके अन्य भाजक हो सकते हैं।

1 से बड़े पूर्णांक n को जाँचने के लिए 2 से शुरू करके पूर्णांक भाजक d आजमाएँ, जब तक d × d ≤ n हो। कोई भाजक न मिले तो संख्या अभाज्य है। यहीं क्यों रुकें? भाज्य n = a × b में a और b को 1 से बड़ा लें। दोनों √n से बड़े नहीं हो सकते, वरना गुणनफल n से बड़ा होगा। इसलिए एक गुणनखंड 2 और √n के बीच है।

दो धनात्मक पूर्णांक सह-अभाज्य हैं जब उनका एकमात्र साझा धनात्मक भाजक 1 हो। यह उनके आपसी संबंध का गुण है, प्रत्येक के अभाज्य होने का नहीं। अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ सह-अभाज्य होती हैं, लेकिन दो भाज्य संख्याएँ भी हो सकती हैं। 1 प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक के साथ सह-अभाज्य है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1. 1, 2 और 21 का वर्गीकरण करें। 1 दोनों प्रकारों में नहीं आता। 2 के भाजक 1 और 2 हैं, इसलिए वह अभाज्य है। 21 = 3 × 7, इसलिए वह भाज्य है।

उदाहरण 2. क्या 29 अभाज्य है? 2, 3, 4 और 5 जाँचें; कोई 29 को पूरा विभाजित नहीं करता। 6 × 6 = 36 > 29, इसलिए आगे जाँच आवश्यक नहीं। अतः 29 अभाज्य है।

उदाहरण 3. 8 के भाजक 1, 2, 4, 8 हैं; 15 के 1, 3, 5, 15 हैं। केवल 1 साझा है। इसलिए दोनों भाज्य होते हुए भी 8 और 15 सह-अभाज्य हैं।

आम गलतियाँ

“विषम” का अर्थ “अभाज्य” नहीं है। सह-अभाज्य का अर्थ “दोनों अभाज्य” नहीं है। दो समान अभाज्य संख्याएँ सह-अभाज्य नहीं हैं, क्योंकि वही अभाज्य संख्या दोनों को विभाजित करती है।

अभ्यास प्रश्न

1. 49 अभाज्य है या भाज्य? निर्णायक कारण दें।
2. क्या 14 और 25 सह-अभाज्य हैं?
3. कौन-सी जोड़ियाँ सह-अभाज्य हैं: (1, 12), (9, 15), (11, 11)?

उत्तर और व्याख्या

1. भाज्य: 49 = 7 × 7। इसके धनात्मक भाजक 1, 7 और 49 हैं, केवल दो नहीं।
2. हाँ। भाजक सूचियाँ 1, 2, 7, 14 और 1, 5, 25 हैं। केवल 1 साझा है।
3. केवल (1, 12)। जोड़ी (9, 15) का साझा भाजक 3 है; (11, 11) का साझा भाजक 11 है।