सीधा और व्युत्क्रम समानुपात

सीखने का उद्देश्य

शर्तों से सीधा और व्युत्क्रम समानुपात पहचानें, स्थिर दर के प्रश्न हल करें और समानुपाती संबंधों को सामान्य रुझानों से अलग समझें।

संबंधों को समझें

धनात्मक x और y का सीधा समानुपात y/x स्थिर रखता है: y = k × x, जहाँ k धनात्मक है। x को धनात्मक गुणक से गुणा करने पर y भी उसी गुणक से बदलता है, क्योंकि k स्थिर है।

व्युत्क्रम समानुपात में x × y स्थिर है: y = k/x। x को धनात्मक गुणक से गुणा करने पर y उस गुणक से भाग होता है। बदलाव संतुलित होते हैं, इसलिए गुणनफल स्थिर रहता है।

संबंध शर्तों से चुनें, केवल बदलाव की दिशा से नहीं। साथ बढ़ना सीधे समानुपात और विपरीत बदलाव व्युत्क्रम समानुपात का प्रमाण नहीं है। केवल रुझान या सहसंबंध किसी समीकरण को सिद्ध नहीं करता।

बिना अतिरिक्त शुल्क, स्थिर प्रति-इकाई मूल्य सीधे समानुपात का आधार है। निश्चित काम बाँटती समान उत्पादकता की मशीनों में व्युत्क्रम समानुपात लागू है, बशर्ते दरें स्थिर हों और आपसी बाधा न हो। तुलना से पहले हर प्रकार के माप की इकाइयाँ समान करें।

उदाहरण 1

स्थिर प्रति-मीटर मूल्य पर 3.5 m कपड़े की कीमत ₹280 है। कोई छूट या अतिरिक्त शुल्क नहीं है। 6 m की कीमत निकालें।

प्रति-मीटर मूल्य 280/3.5 = ₹80 है। इसलिए 6 m की कीमत 6 × 80 = ₹480 होगी। स्थिर कीमत-लंबाई भागफल सीधे समानुपात को उचित ठहराता है।

उदाहरण 2

6 समान मशीनें निश्चित काम 15 घंटे में करती हैं। दर समान और स्थिर है; आपसी बाधा नहीं है। 10 मशीनें कितना समय लेंगी?

काम के लिए 6 × 15 = 90 मशीन-घंटे चाहिए। इसलिए 10 मशीनों को 90/10 = 9 घंटे लगेंगे। मशीनें बढ़ने पर समय घटता है, क्योंकि कुल मशीन-घंटों में दर्शाया काम निश्चित है।

उदाहरण 3

डिलीवरी में निश्चित ₹40 के अतिरिक्त ₹12 प्रति किलोमीटर लगते हैं। 5 km तथा 10 km के शुल्क निकालें। क्या लागत दूरी के सीधे समानुपात में है?

शुल्क 40 + 12 × 5 = ₹100 और 40 + 12 × 10 = ₹160 हैं। दूरी दोगुनी है, लेकिन शुल्क दोगुना अर्थात ₹200 नहीं हुआ। लागत बढ़ती है, लेकिन निश्चित शुल्क से सीधा समानुपात नहीं बनता।

सामान्य गलतियाँ

संख्या घटने मात्र से व्युत्क्रम समानुपात न चुनें। स्थिर राशि और दर-संबंधी मान्यताएँ जाँचें। निश्चित शुल्क स्थिर प्रति-इकाई दर नहीं है।

अभ्यास प्रश्न

1. स्थिर दर पर 2.5 L भरने में 40 सेकंड लगते हैं। 7.5 L में कितना समय लगेगा?
2. समान उत्पादकता के 8 श्रमिक निश्चित काम 18 दिनों में करते हैं। समान दैनिक कार्य-घंटों और बिना बाधा के 12 ऐसे श्रमिक कितना समय लेंगे?
3. वाहन बिना रुके निश्चित 150 km चलता है। 30 km/h और 50 km/h की स्थिर चालों पर यात्रा-समय निकालें।
4. लैंप का किराया ₹25 प्रतिदिन तथा अतिरिक्त निश्चित शुल्क ₹60 है। 2 दिनों और 4 दिनों की लागत निकालें। क्या कुल लागत अवधि के सीधे समानुपात में है?

हल सहित उत्तर

1. आयतन का गुणक 7.5/2.5 = 3 है। समान दर पर समय 40 × 3 = 120 सेकंड होगा।
2. काम के लिए 8 × 18 = 144 श्रमिक-दिन चाहिए। दी गई शर्तों में 12 श्रमिक 144/12 = 12 दिन लेंगे।
3. समय = दूरी/चाल: 150/30 = 5 घंटे और 150/50 = 3 घंटे। चाल और समय का गुणनफल 150 km रहता है।
4. लागतें 60 + 25 × 2 = ₹110 और 60 + 25 × 4 = ₹160 हैं। दोगुनी अवधि पर लागत ₹220 नहीं हुई, इसलिए सीधा समानुपात नहीं है।