ऊँचाइयों और दूरियों की प्रारंभिक समस्याएँ

सीखने का लक्ष्य

समकोण त्रिभुजों से ऊँचाई और क्षैतिज दूरी का गणितीय मॉडल बनाना, प्रेक्षक की आँखों की ऊँचाई शामिल करना और दो स्थानों से किए गए अवलोकन की समस्या हल करना।

अवधारणाएँ और मान्यताएँ

सभी कोण डिग्री में हैं और 0° < θ < 90°। भूमि समतल और क्षैतिज, लक्ष्य ऊर्ध्वाधर तथा दृष्टि-रेखाएँ सीधी मानें। पृथ्वी की वक्रता और अपवर्तन को अनदेखा करें। आयामों को आदर्श मान मानें।

उन्नयन कोण प्रेक्षक की आँखों से गुजरने वाली क्षैतिज रेखा से ऊपर की ओर मापा जाता है; अवनमन कोण उसी से नीचे की ओर मापा जाता है।

मीनार BT की ऊँचाई H और आधार B मानें। उसी समतल भूमि पर प्रेक्षक P पर खड़ा है और उसकी आँखें E, P से e ऊँचाई पर हैं। PB = d > 0 लें। यदि T, E से ऊपर है, तो E से खींची क्षैतिज रेखा मीनार को R पर मिलती है; ER = d और RT = H − e।

इसलिए tan θ = (H − e)/d, अथवा H = e + d tan θ। दृष्टि-रेखा ET कर्ण है, क्षैतिज दूरी नहीं।

समांतर क्षैतिज रेखाओं के कारण अवनमन कोण संबंधित उन्नयन कोण के बराबर होता है। केवल उन अंतिम उत्तरों को सन्निकट मान में बदलें जिनके लिए ऐसा कहा गया हो।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — आँखों की ऊँचाई महत्त्वपूर्ण है। प्रेक्षक की आँखें समतल भूमि से 1.5 m ऊपर हैं और पेड़ के आधार से क्षैतिज दूरी 18 m है। पेड़ की चोटी का उन्नयन कोण 45° है।

आँखों से ऊपर की ऊँचाई = 18 tan 45° = 18 m। पेड़ की ऊँचाई = 1.5 + 18 = 19.5 m।

उदाहरण 2 — अवनमन। आँखें समतल भूमि से 24 m ऊपर हैं। भूमि पर स्थित एक चिह्न का अवनमन कोण 30° है। आँखों के ठीक नीचे स्थित बिंदु से चिह्न की क्षैतिज दूरी निकालें।

संबंधित उन्नयन कोण 30° है, इसलिए tan 30° = 24/d। अतः d = 24/(1/√3) = 24√3 m, सटीक।

उदाहरण 3 — दो स्थान। स्थान P और Q एक ही सीधी समतल रेखा पर 20 m दूर हैं और मीनार के आधार B की एक ही ओर हैं। आँखों की ऊँचाई 1.6 m है; निकट वाले P पर उन्नयन कोण 60° और दूर वाले Q पर 30° है।

PB = d और h = H − 1.6 लें; तब QB = d + 20। h = d√3 और h = (d + 20)/√3। दोनों बराबर रखने पर 3d = d + 20, इसलिए d = 10 m। अतः H = 1.6 + 10√3 m ≈ 18.92 m, जहाँ केवल अंतिम उत्तर को दशमलव के बाद दो स्थानों तक निकटतम मान में लिखा गया है।

आम गलतियाँ

आँखों की ऊँचाई छोड़ देना; तिरछी और क्षैतिज दूरी में भ्रम करना; कोण ऊर्ध्वाधर रेखा से मापना; स्थानों की स्थिति जाँचे बिना d + बीच की दूरी लेना।

अभ्यास प्रश्न

1. समतल भूमि पर आँखों की ऊँचाई 1.4 m और मीनार के आधार से क्षैतिज दूरी 28 m है। उन्नयन कोण 45° है। मीनार की ऊँचाई निकालें।
2. एक मीनार 25 m ऊँची है। उसी समतल भूमि पर आँखों की ऊँचाई 1 m और उन्नयन कोण 60° है। क्षैतिज दूरी निकालें।
3. आँखें समतल भूमि से 30 m ऊपर हैं; भूमि पर एक चिह्न का अवनमन कोण 45° है। आँखों के ठीक नीचे वाले बिंदु से क्षैतिज दूरी निकालें।
4. दो स्थान एक ही सीधी समतल रेखा पर, मीनार की एक ही ओर, 12 m दूर हैं। दोनों पर आँखों की ऊँचाई 1.5 m है; निकट स्थान का उन्नयन कोण 45° और दूर स्थान का 30° है। मीनार की सटीक ऊँचाई निकालें।

चरणबद्ध हल

1. आँखों से ऊपर की ऊँचाई = 28 tan 45° = 28 m। कुल ऊँचाई = 28 + 1.4 = 29.4 m।
2. ऊर्ध्वाधर अंतर = 25 − 1 = 24 m। दूरी = 24/tan 60° = 24/√3 = 8√3 m।
3. tan 45° = 30/d, इसलिए 1 = 30/d और d = 30 m।
4. निकट स्थान की दूरी d और h = H − 1.5 मानें। तब h = d और h = (d + 12)/√3। इसलिए (√3 − 1)d = 12, जिससे d = 12/(√3 − 1) = 6(√3 + 1)। अतः H = 7.5 + 6√3 m, सटीक।