करणियाँ और सरलीकरण

सीखने का लक्ष्य

वर्गमूल करणियों को सरल करना, करणी वाले व्यंजकों को जोड़ना और गुणा करना तथा वास्तविक मानों की शर्तें बनाए रखते हुए हरों का परिमेयकरण करना।

अवधारणाएँ और मान्यताएँ

वास्तविक संख्याओं में काम करें। वर्गमूल का चिह्न मुख्य, गैर-ऋणात्मक वर्गमूल बताता है। इसलिए √a के लिए a ≥ 0 आवश्यक है। यहाँ वर्गमूल करणियाँ परिमेय संख्याओं के अपरिमेय वर्गमूल हैं: √2 करणी है, लेकिन √9 = 3 करणी नहीं है।

a, b ≥ 0 के लिए √a × √b = √(ab)। दोनों पक्ष गैर-ऋणात्मक हैं और दोनों का वर्ग ab है; यही नियम का आधार है। इसी प्रकार, √(a/b) = √a/√b के लिए a ≥ 0 और b > 0 चाहिए; हर शून्य नहीं हो सकता।

पद जोड़ने से पहले पूर्ण वर्ग गुणनखंड बाहर निकालें। केवल समान करणियाँ जुड़ती हैं: सरल करने के बाद उनके अपरिमेय हिस्से समान होने चाहिए। इसका आधार भी वितरण नियम है, जैसे सजातीय बीजगणितीय पदों को जोड़ने में होता है।

वर्गमूल जोड़ पर वितरण नहीं करता। गैर-ऋणात्मक a और b के लिए भी √(a + b) सामान्यतः √a + √b से अलग होता है।

हर वास्तविक x के लिए √(x²) = |x|, हमेशा x नहीं। यहाँ x ≥ 0 होने पर |x| = x और x < 0 होने पर |x| = −x है। मुख्य वर्गमूल गैर-ऋणात्मक होने के कारण यह अंतर आवश्यक है।

परिमेयकरण में भिन्न को ऐसे रूप में लिखते हैं जिसके हर में करणी न हो। अंश और हर को एक ही अशून्य व्यंजक से गुणा करना भिन्न को 1 से गुणा करने के बराबर है। संयुग्मी व्यंजकों में चिह्न विपरीत होते हैं: (u + v)(u − v) = u² − v²। जाँचें कि मूल हर और गुणा करने के लिए चुना गया व्यंजक, दोनों अशून्य हों।

जब तक दशमलव सन्निकटन न माँगा जाए, करणियों को सटीक रूप में रखें; यहाँ किसी सन्निकटन की आवश्यकता नहीं है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — सरल करके समान करणियाँ जोड़ना। √72 + √50 − √8 को सरल करें।

पूर्ण वर्ग गुणनखंड बाहर निकालें: √72 = √(36 × 2) = 6√2; √50 = √(25 × 2) = 5√2; √8 = √(4 × 2) = 2√2। इसलिए व्यंजक (6 + 5 − 2)√2 = 9√2 है।

उदाहरण 2 — करणियों के योग का वर्ग। (√6 + √2)² को सरल करें।

वितरण नियम लगाएँ: (√6)² + 2√6√2 + (√2)² = 6 + 2√12 + 2। चूँकि √12 = 2√3 है, इसलिए उत्तर 8 + 4√3 है। बीच का गुणनफल वाला पद नहीं छोड़ा जा सकता।

उदाहरण 3 — अंतर वाले हर का परिमेयकरण। 4/(√7 − √3) को सरल करें।

√7 > √3 होने से हर धनात्मक है; संयुग्मी √7 + √3 भी धनात्मक है। (√7 + √3)/(√7 + √3) से गुणा करें: 4(√7 + √3)/(7 − 3) = 4(√7 + √3)/4 = √7 + √3।

आम गलतियाँ

समान करणियाँ जोड़ने के बजाय मूल के भीतर की संख्याएँ जोड़ना; बीच के गुणनफल वाले पद भूलना; ऋणात्मक x के लिए भी √(x²) को x मान लेना; शून्य वाले गुणनखंड से परिमेयकरण करना; अनावश्यक सन्निकट दशमलव लाना।

अभ्यास प्रश्न

1. √108 − √48 + √12 को सरल करें।
2. (√5 + √2)² का विस्तार करके सरल करें।
3. 3/(√5 + √2) का परिमेयकरण करें।
4. वास्तविक x के लिए परिभाषा-क्षेत्र बताएँ और √(x²)/x को सरल करें।

चरणबद्ध हल

1. √108 = 6√3, √48 = 4√3 और √12 = 2√3। इसलिए (6 − 4 + 2)√3 = 4√3।
2. विस्तार से 5 + 2√10 + 2 = 7 + 2√10 मिलता है। दोनों मूलों के भीतर की संख्याएँ गैर-ऋणात्मक हैं।
3. हर धनात्मक है और √5 − √2 अशून्य है। संयुग्मी व्यंजक को उसी से भाग देकर बने अनुपात से गुणा करें: 3(√5 − √2)/(5 − 2) = √5 − √2।
4. हर वास्तविक x के लिए x² गैर-ऋणात्मक है, लेकिन भाग देने के कारण x = 0 वर्जित है। व्यंजक |x|/x है: x > 0 पर 1, और x < 0 पर −1, क्योंकि तब |x| = −x होता है।