बार-बार प्रतिशत बदलाव से वृद्धि और मूल्यह्रास

सीखने का परिणाम

बार-बार वृद्धि, मूल्यह्रास और मिले-जुले बदलाव निकालें तथा पूरे गुणक की उलटी गणना से मूल मान खोजें।

अवधारणाएँ और मान्यताएँ

प्रतिशत बदलाव का आधार उससे ठीक पहले का मान है। g% वृद्धि पुराना मान रखकर उसका g/100 जोड़ती है, इसलिए गुणक 1 + g/100 है। d% मूल्यह्रास वर्तमान मान का d/100 हटाता है, इसलिए गुणक 1 - d/100 है।

स्थिर दर पर n पूरी अवधियों के लिए:

वृद्धि में अंतिम मान = मूल मान × (1 + g/100)^n।

मूल्यह्रास में अंतिम मान = मूल मान × (1 - d/100)^n।

ये सूत्र वही गुणा दोहराते हैं। बराबर प्रतिशत मूल्यह्रास में रुपये की कटौती घटती जाती है, क्योंकि आधार छोटा होता है। यह हर वर्ष निश्चित रकम घटाने जैसा नहीं है।

अलग दरें या दिशाएँ हों तो उचित गुणक क्रम से गुणा करें। शुद्ध प्रतिशत बदलाव के लिए अंतिम मान में से मूल मान घटाएँ, मूल मान से भाग दें और 100 से गुणा करें। ऋणात्मक परिणाम कमी बताता है। पीछे लौटने के लिए अंतिम मान को पूरे गुणक से बाँटें।

मानें कि शुरुआती मान धनात्मक है, अलग से कोई जोड़, हटाव या भुगतान नहीं है और बदलाव केवल बताई अवधियों के अंत में होते हैं। वृद्धि दरें अऋणात्मक और मूल्यह्रास दरें 0% से लेकर 100% से कम हैं, जिससे मान तथा उलटी गणना के भाजक धनात्मक रहते हैं। 100% मूल्यह्रास शून्य देता है और उससे मूल मान निश्चित रूप से वापस नहीं निकाला जा सकता।

ये बताई अवधि के बदलाव हैं, नाममात्र वार्षिक ब्याज-दरें नहीं। वार्षिक मूल्यह्रास दर को 12 से बाँटकर समतुल्य मासिक मॉडल न मानें। वर्ष में 12 महीने हैं, लेकिन भिन्नात्मक अवधि या दिनों के लिए स्पष्ट मॉडल चाहिए; यहाँ कोई दिन-गणना नियम नहीं माना गया है। बीच के मान सटीक रखें; जरूरत पर केवल अंतिम रकम ₹0.01 तक पूर्णांकित करें और आधा पैसा होने पर ऊपर जाएँ।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — बार-बार वृद्धि। ₹18,000 का मान 2 वर्षों तक 5% वार्षिक बढ़ता है। पहला मान = 18000 × 1.05 = ₹18,900। दूसरा मान = 18900 × 1.05 = ₹19,845। कुल वृद्धि = 19845 - 18000 = ₹1,845; प्रतिशत वृद्धि = (1845 ÷ 18000) × 100 = 10.25%, न कि 10%।

उदाहरण 2 — बार-बार मूल्यह्रास। ₹62,500 मूल्य की मशीन का 3 वर्षों तक 12% वार्षिक मूल्यह्रास होता है। क्रमिक मान 62500 × 0.88 = ₹55,000, फिर 55000 × 0.88 = ₹48,400, फिर 48400 × 0.88 = ₹42,592 हैं। कुल मूल्यह्रास = 62500 - 42592 = ₹19,908। हर कटौती वर्तमान मान पर लगती है।

उदाहरण 3 — मिले-जुले बदलावों से पीछे लौटें। 20% वृद्धि और फिर 15% कमी के बाद मान ₹24,480 है। संयुक्त गुणक = 1.20 × 0.85 = 1.02। मूल मान = 24480 ÷ 1.02 = ₹24,000। जाँच: 24000 × 1.20 = ₹28,800, फिर 28800 × 0.85 = ₹24,480। शुद्ध वृद्धि 2% है, न कि 20% - 15% = 5%।

आम गलतियाँ

बराबर प्रतिशत वृद्धि और कमी एक-दूसरे को नहीं काटतीं: 0 और 1 के बीच दशमलव दर x के लिए (1 + x) × (1 - x) = 1 - x^2। इस सर्वसमिका में दो बराबर विपरीत दरें क्रमिक रूप से लागू होनी चाहिए।

अभ्यास प्रश्न

1. ₹26,000 का मान 2 वर्षों तक 6% वार्षिक बढ़ता है। अंतिम मान निकालें।
2. ₹45,000 का मान 2 वर्षों तक 10% वार्षिक घटता है। अंतिम मान और कुल मूल्यह्रास निकालें।
3. ₹16,000 में पहले 25% वृद्धि, फिर 25% कमी होती है। अंतिम मान और शुद्ध प्रतिशत बदलाव निकालें।
4. 8% की 2 वार्षिक मूल्यह्रास कटौतियों के बाद मान ₹33,856 है। मूल मान निकालें।

हल सहित उत्तर

1. मान 26000 × 1.06 = ₹27,560 और 27560 × 1.06 = ₹29,213.60 हैं।
2. मान 45000 × 0.90 = ₹40,500 और 40500 × 0.90 = ₹36,450 हैं। कुल मूल्यह्रास = 45000 - 36450 = ₹8,550।
3. मान 16000 × 1.25 = ₹20,000 और 20000 × 0.75 = ₹15,000 हैं। कमी = ₹1,000, अर्थात (1000 ÷ 16000) × 100 = 6.25%।
4. संयुक्त गुणक = 0.92^2 = 0.8464। मूल मान = 33856 ÷ 0.8464 = ₹40,000। जाँच में एक वर्ष बाद ₹36,800 और दो के बाद ₹33,856 मिलते हैं।