सांत और आवर्ती दशमलव

सीखने का लक्ष्य

सांत और आवर्ती दशमलवों में अंतर करना, अनावर्ती शुरुआत के बाद आवृत्ति पहचानना और भिन्नों को सरल करने के बाद वर्गीकृत करना।

दशमलव का समाप्त होना और आवर्ती होना

सांत दशमलव सीमित दशमलव स्थानों के बाद समाप्त होता है। आवर्ती दशमलव में कोई निश्चित अंक या अंकसमूह अनंत बार दोहरता है। उससे पहले कुछ अनावर्ती अंक भी हो सकते हैं। यहाँ बिंदु बताते हैं कि निर्दिष्ट आवर्ती क्रम हमेशा चलेगा।

वर्गीकरण के लिए a/b में अंश और हर पूर्णांक हों तथा b अशून्य हो। हर धनात्मक रखें। सरलतम भिन्न के अंश और हर का 1 के अलावा कोई साझा धनात्मक भाजक नहीं होता। साझा गुणनखंड काटकर यह रूप मिलता है।

भिन्न का दशमलव प्रसार सांत ठीक तभी है, जब सरलतम हर में 2 और 5 के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड न हो। इनमें से कोई एक अभाज्य अनुपस्थित हो सकता है। हर 1 भी स्वीकार्य है। कारण: दस की घातों में केवल यही अभाज्य होते हैं; इसलिए ऐसे ही हर को गुणा करके दस की घात बना सकते हैं।

कोई अन्य अभाज्य बचने पर भाग समाप्त नहीं होता, लेकिन अंततः दोहरता है। निश्चित हर के लिए संभावित शेषफल सीमित हैं। शेषफल शून्य होने पर भाग समाप्त होता है; अशून्य शेषफल दोहरने पर वही अंकक्रम लौटता है। सांत रूप उपलब्ध हो तो वही रूप अपनाएँ।

हल किए हुए उदाहरण

उदाहरण 1: 18/45 का वर्गीकरण करें।

अंश और हर को 9 से भाग दें: 18/45 = 2/5 = 0.4। सरलतम हर में केवल अभाज्य 5 है, इसलिए दशमलव सांत है। मूल हर की जाँच करने से गलत निष्कर्ष निकलता।

उदाहरण 2: 7/12 की जाँच करें।

सरलतम हर 12 = 2 × 2 × 3 है। भाग में 70 से अंक 5 और शेषफल 10 मिलता है; 100 से अंक 8 और शेषफल 4; फिर 40 से अंक 3 और दोबारा शेषफल 4 मिलता है। इसलिए 7/12 = 0.583333...; शुरुआती 58 के बाद केवल 3 आवर्ती है।

उदाहरण 3: 5/11 की जाँच करें।

भाग में 50 ÷ 11 से अंक 4, शेषफल 6; फिर 60 ÷ 11 से अंक 5, शेषफल 5 मिलता है। चक्र दोबारा शुरू होता है, इसलिए 5/11 = 0.454545... में 45 आवर्ती है। दो दशमलव स्थानों तक 5/11 ≈ 0.45। चिह्न ≈ सन्निकटन दर्शाता है, सटीक समानता नहीं।

सामान्य गलतियाँ

बिना सरल किए हर की जाँच न करें। आवृत्ति दशमलव बिंदु के तुरंत बाद शुरू होना आवश्यक नहीं। लिखे हुए सीमित शुरुआती अंक पूरा आवर्ती दशमलव नहीं हैं। हर असांत दशमलव आवर्ती नहीं होता; लेकिन भिन्नों के दशमलव सांत या अंततः आवर्ती होते हैं।

अभ्यास प्रश्न

1. 21/84 का वर्गीकरण करके उसका दशमलव रूप निकालें।
2. 13/40 का वर्गीकरण करके उसका दशमलव रूप निकालें।
3. 11/18 के शुरुआती अनावर्ती भाग और आवर्ती अंक को पहचानें।
4. क्या 2/3 = 0.667 सही है? तीन दशमलव स्थानों तक सही संबंध लिखें।

व्याख्या सहित उत्तर

1. 21 से काटें: 21/84 = 1/4 = 0.25। चूँकि 4 = 2 × 2, यह सांत है।
2. चूँकि 40 = 2 × 2 × 2 × 5, यह सांत है। दोनों संख्याओं को 25 से गुणा करें: 13/40 = 325/1000 = 0.325।
3. भाग में अंक 6 और शेषफल 2 मिलता है; फिर 20 ÷ 18 बार-बार अंक 1 और शेषफल 2 देता है। इसलिए 11/18 = 0.611111...; 6 अनावर्ती है और 1 आवर्ती है।
4. नहीं। सटीक रूप में 2/3 = 0.666666... में 6 आवर्ती है। चौथा दशमलव अंक 6 है, इसलिए ऊपर की ओर पूर्णांकन करें: तीन दशमलव स्थानों तक 2/3 ≈ 0.667।