माध्यिकाएँ, शीर्षलंब, कोण समद्विभाजक और त्रिभुज के केंद्र

सीखने का परिणाम

माध्यिका, शीर्षलंब और कोण समद्विभाजक में अंतर करें तथा त्रिभुज के चार केंद्रों की स्थिति पहचानें।

अवधारणाएँ और मान्यताएँ

तीन असंरेख शीर्षों वाला त्रिभुज ABC लें। माध्यिका किसी शीर्ष को सामने की भुजा के मध्यबिंदु से जोड़ती है। इससे बने त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हैं, क्योंकि उनके आधार बराबर और लंबवत ऊँचाइयाँ समान हैं। माध्यिका का लंबवत होना या कोण को आधा करना जरूरी नहीं।

माध्यिकाएँ केंद्रक G पर मिलती हैं, जो हमेशा भीतर है। माध्यिका AM पर AG:GM = 2:1; AG, AM का दो-तिहाई है। माध्यिकाओं से बने बराबर क्षेत्रफल वाले उपभागों की तुलना से यह अनुपात मिलता है।

शीर्षलंब किसी शीर्ष से सामने की भुजा की रेखा पर डाला गया लंब है; वह भुजा के विस्तार पर भी पहुँच सकता है। शीर्षलंबों की रेखाएँ लंबकेंद्र H पर मिलती हैं: न्यूनकोण त्रिभुज में भीतर, समकोण त्रिभुज में समकोण वाले शीर्ष पर और अधिककोण त्रिभुज में बाहर।

आंतरिक कोण समद्विभाजक शीर्ष के कोणों को आधा करते हैं और अंतःकेंद्र I पर मिलते हैं, जो हमेशा भीतर है। समद्विभाजक के बिंदुओं की कोण की दोनों भुजाओं से लंबवत दूरियाँ बराबर हैं। इसलिए I तीनों भुजाओं की रेखाओं से बराबर दूर है और अंतःवृत्त का केंद्र है।

AD, ∠A को समद्विभाजित करे और D, BC पर हो तो कोण समद्विभाजक प्रमेय से BD/DC = AB/AC: आसन्न भुजाएँ सामने की भुजा के विभाजन का अनुपात तय करती हैं।

भुजा का लंब समद्विभाजक उसके मध्यबिंदु से 90° पर गुजरता है। उसके बिंदु उस भुजा के दोनों सिरों से बराबर दूर हैं। ये समद्विभाजक परिकेंद्र O पर मिलते हैं, जहाँ OA = OB = OC। O न्यूनकोण त्रिभुज में भीतर, समकोण त्रिभुज में कर्ण के मध्यबिंदु पर और अधिककोण त्रिभुज में बाहर है।

समबाहु त्रिभुज में चारों केंद्र एक ही बिंदु पर हैं, लेकिन सामान्यतः ऐसा नहीं होता।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — माध्यिका बाँटें। AM त्रिभुज ABC की माध्यिका है, M भुजा BC पर है और AM = 18 cm। केंद्रक G के लिए अनुपात का एक हिस्सा = 18/3 = 6 cm। इसलिए AG = 12 cm और GM = 6 cm।

उदाहरण 2 — समकोण त्रिभुज के केंद्र। त्रिभुज PQR में Q समकोण है और कर्ण PR = 18 cm। परिकेंद्र O, PR का मध्यबिंदु है, इसलिए OP = OR = OQ = 9 cm। लंबकेंद्र H, Q है। केंद्रक और अंतःकेंद्र पूरी तरह भीतर रहते हैं।

उदाहरण 3 — भुजा बाँटें। त्रिभुज ABC में AB = 10 cm, AC = 15 cm और BC = 20 cm। आंतरिक समद्विभाजक AD, BC को D पर मिलता है। तब BD:DC = 10:15 = 2:3। एक हिस्सा = 20/5 = 4 cm, इसलिए BD = 8 cm और DC = 12 cm।

आम गलतियाँ

लंब समद्विभाजक और शीर्षलंब की परिभाषाएँ अलग हैं, भले वे एक ही रेखा पर हों। भुजाओं से दूरियाँ लंबवत दूरियाँ हैं। हर केंद्र भीतर नहीं होता और माध्यिका का कोण समद्विभाजित करना जरूरी नहीं।

अभ्यास प्रश्न

1. G माध्यिका AM पर केंद्रक है और AG = 14 cm। GM और AM निकालें।
2. अंतःकेंद्र I की भुजा AB से लंबवत दूरी 4 cm है। AC और BC से उसकी दूरियाँ तथा अंतःवृत्त की त्रिज्या निकालें।
3. त्रिभुज ABC में AB = 9 cm, AC = 12 cm और BC = 14 cm। आंतरिक समद्विभाजक AD, BC को D पर मिलता है। BD और DC निकालें।
4. त्रिभुज PQR में ∠P = 108° और ∠Q = 42°। केंद्रक, अंतःकेंद्र, परिकेंद्र और लंबकेंद्र की स्थिति बताएँ: भीतर या बाहर?

हल सहित उत्तर

1. AG दो हिस्सों के बराबर है, इसलिए GM = 14/2 = 7 cm। AM = 14 + 7 = 21 cm।
2. लंबवत दूरियाँ बराबर होने से AC और BC दोनों से दूरी 4 cm है। अंतःवृत्त की त्रिज्या भी 4 cm है।
3. BD:DC = 9:12 = 3:4। एक हिस्सा = 14/7 = 2 cm, इसलिए BD = 6 cm और DC = 8 cm।
4. तीसरा कोण 180° - 108° - 42° = 30° है। त्रिभुज अधिककोण है: केंद्रक और अंतःकेंद्र भीतर हैं; परिकेंद्र और लंबकेंद्र बाहर हैं।