डिग्री और रेडियन

सीखने का लक्ष्य

डिग्री और रेडियन के बीच सटीक रूपांतरण करना, कोण और उसके संख्यात्मक माप में अंतर समझना तथा चाप की लंबाई और त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल में रेडियन माप का उपयोग करना।

अवधारणाएँ और मान्यताएँ

एक डिग्री पूरे चक्कर का 1/360 भाग है। रेडियन में केंद्रीय कोण का माप उसके सामने वाले चाप की लंबाई s और वृत्त की त्रिज्या r के अनुपात से मिलता है: θ = s/r, जहाँ r > 0 और दोनों लंबाइयाँ समान इकाइयों में हैं।

इसलिए त्रिज्या के बराबर लंबाई वाला चाप केंद्र पर 1 रेडियन का कोण बनाता है। लंबाइयों के अनुपात की कोई भौतिक विमा नहीं होती, लेकिन “rad” लिखने से डिग्री के साथ भ्रम नहीं होता। एक ही कोण का संख्यात्मक माप दोनों प्रणालियों में अलग होता है।

पूरे वृत्त की परिधि 2πr है, इसलिए पूरा चक्कर 2πr/r = 2π रेडियन = 360° है। आधा करने पर π रेडियन = 180° मिलता है। इसलिए: रेडियन में माप = डिग्री में माप × π/180; डिग्री में माप = रेडियन में माप × 180/π।

हर 180 और π अशून्य हैं। नियतांक π सटीक है; उसकी जगह 22/7 या कुछ अंकों वाला दशमलव रखने से सन्निकटन आएगा। एक रेडियन 180/π डिग्री के बराबर है, जो दशमलव के बाद दो स्थानों तक निकटतम मान लेने पर लगभग 57.30° है।

सामान्य घूर्णन कोण वास्तविक हो सकते हैं: धनात्मक घूर्णन वामावर्त और ऋणात्मक घूर्णन दक्षिणावर्त होता है। यहाँ ज्यामितीय चापों और त्रिज्यखंडों के लिए θ को 0 ≤ θ ≤ 2π रेडियन तक सीमित रखें और r > 0 लें।

θ = s/r को व्यवस्थित करने पर s = rθ मिलता है। त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/(2π) भाग है, इसलिए उसका क्षेत्रफल [θ/(2π)] × πr² = r²θ/2 है। इन दोनों सूत्रों में θ रेडियन में होना चाहिए। डिग्री की संख्या सीधे रखने के बजाय पहले उसे बदलें।

त्रिकोणमितीय गणना के लिए कैलकुलेटर का मोड दी गई कोण-इकाई से मेल खाना चाहिए। इकाई बदलने से न कोण बदलता है और न यह बदलता है कि उसके त्रिकोणमितीय अनुपात परिभाषित हैं या नहीं।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — डिग्री से रेडियन। 150° को सटीक रूप में बदलें।

π/180 से गुणा करें: 150 × π/180 = (5/6)π = 5π/6 rad। जाँच: यह आधे चक्कर का 5/6 भाग है, जो 150/180 के अनुरूप है।

उदाहरण 2 — रेडियन से डिग्री। 7π/12 rad को सटीक रूप में बदलें।

180/π से गुणा करें: (7π/12) × (180/π) = 7 × 15 = 105°। अशून्य π गुणनखंड कट जाते हैं; सन्निकटन की आवश्यकता नहीं है।

उदाहरण 3 — चाप और त्रिज्यखंड। एक वृत्त की त्रिज्या 12 cm है। 75° के केंद्रीय कोण द्वारा बनाए गए चाप की लंबाई और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल निकालें।

पहले बदलें: θ = 75π/180 = 5π/12 rad। चाप की लंबाई = 12 × 5π/12 = 5π cm। त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = 12² × (5π/12)/2 = 30π cm²। दोनों उत्तर सटीक हैं और उनकी इकाइयाँ लंबाई तथा क्षेत्रफल का अंतर स्पष्ट करती हैं।

आम गलतियाँ

रेडियन को लंबाई मानना; रूपांतरण का गुणक उलटा लगाना; rθ में सीधे डिग्री रखना; गुणनखंड काटने से पहले π का सन्निकटन करना; कैलकुलेटर का गलत मोड उपयोग करना।

अभ्यास प्रश्न

1. 225° को सटीक रूप में रेडियन में बदलें।
2. 11π/18 rad को डिग्री में बदलें।
3. 1 rad और 60° में कौन बड़ा है? रेडियन में उनका सटीक धनात्मक अंतर बताएँ।
4. एक वृत्त की त्रिज्या 9 cm और त्रिज्यखंड का कोण 2π/3 rad है। चाप की लंबाई और क्षेत्रफल सटीक रूप में निकालें।

चरणबद्ध हल

1. 225 × π/180 = 5π/4 rad। यह π और 2π के बीच है, जो 180° और 360° के बीच के कोण के अनुरूप है।
2. (11π/18) × (180/π) = 11 × 10 = 110°।
3. 60° = π/3 rad। चूँकि π > 3 है, इसलिए π/3 > 1। अतः 60° बड़ा है, और अंतर (π/3 − 1) rad है।
4. चाप की लंबाई = rθ = 9 × 2π/3 = 6π cm। क्षेत्रफल = r²θ/2 = 81 × (2π/3)/2 = 27π cm²। कोई सन्निकटन नहीं किया गया है।