वृत्त की परिधि तथा वृत्त और अर्धवृत्त के क्षेत्रफल
सीखने का लक्ष्य
वृत्त और अर्धवृत्त के क्षेत्रफल तथा सीमाओं की लंबाइयाँ निकालना, दी गई जानकारी से त्रिज्या ज्ञात करना और निर्धारित pi सन्निकटन को सटीक ज्यामितीय मान से अलग समझना।
अवधारणाएँ और मान्यताएँ
त्रिज्या वृत्त के केंद्र को उसकी सीमा से जोड़ती है। व्यास केंद्र से होकर गुजरता है और त्रिज्या का दोगुना होता है। दिए गए आयामों को आदर्श मान मानें।
नियतांक pi, परिधि को व्यास से भाग देने पर मिलता है। इसलिए परिधि = pi × व्यास = 2 × pi × त्रिज्या। परिधि सीमा की लंबाई बताती है, सतह का फैलाव नहीं।
वृत्त का क्षेत्रफल समझने के लिए उसे अनेक पतले त्रिज्यखंडों में बाँटकर बारी-बारी से विपरीत दिशाओं में जमाने की कल्पना करें। यह व्यवस्था ऐसे आयत के निकट पहुँचती है जिसकी ऊँचाई r और आधार आधी परिधि, अर्थात pi × r है। उसका क्षेत्रफल pi × r² के निकट पहुँचता है।
अर्धवृत्त, व्यास के साथ काटे गए वृत्ताकार क्षेत्र का आधा भाग है। उसका क्षेत्रफल pi × r²/2 और वक्र चाप की लंबाई pi × r है। लेकिन उसका पूरा परिमाप pi × r + 2r है, क्योंकि सीधा व्यास भी सीमा का हिस्सा है।
pi = 22/7 लेना एक निर्धारित सन्निकटन है, pi का सटीक मान नहीं। नीचे जहाँ यह मान बताया गया है, वहाँ आगे कोई दशमलव सन्निकटन न करें; परिणाम ज्यामितीय मानों के सन्निकटन हैं। जहाँ कैलकुलेटर वाला pi बताया गया है, वहाँ बीच की गणना में उपलब्ध पूरी परिशुद्धता रखें और केवल प्रत्येक अंतिम उत्तर को दशमलव के बाद दो स्थानों तक निकटतम मान में लिखें।
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — पूरा वृत्त। 7 m त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल निकालिए। pi = 22/7 लें; आगे कोई सन्निकटन न करें।
परिधि = 2 × (22/7) × 7 = 44 m। क्षेत्रफल = (22/7) × 7² = (22/7) × 49 = 154 m²। दोनों परिणाम pi के बताए गए सन्निकटन पर आधारित हैं।
उदाहरण 2 — त्रिज्या निकालना। एक वृत्त की परिधि 66 cm है। उसकी त्रिज्या और क्षेत्रफल निकालिए। pi = 22/7 लें; आगे कोई सन्निकटन न करें।
66 = 2 × (22/7) × त्रिज्या। त्रिज्या = 66 × 7/44 = 10.5 cm। इस निर्धारित मान के अनुसार क्षेत्रफल = (22/7) × 10.5² = (22/7) × 110.25 = 346.5 cm²।
उदाहरण 3 — अर्धवृत्त की पूरी सीमा। एक अर्धवृत्त का व्यास 10 cm है। उसका क्षेत्रफल और पूरा परिमाप निकालिए। कैलकुलेटर वाला pi लें और अंतिम उत्तरों को दशमलव के बाद दो स्थानों तक निकटतम मान में लिखें।
त्रिज्या = 10/2 = 5 cm। क्षेत्रफल = pi × 25/2 = 12.5 × pi ≈ 39.27 cm²। परिमाप = 5 × pi + 10 ≈ 25.71 cm। व्यास सीमा में 10 cm जोड़ता है; केवल चाप लेने से यह हिस्सा छूट जाएगा।
आम गलतियाँ
त्रिज्या की जगह व्यास रखना; परिधि और क्षेत्रफल में भ्रम करना; वृत्त की परिधि आधी करके व्यास जोड़ना भूल जाना; 22/7 को pi का सटीक मान मानना; बीच की गणना में ही सन्निकट मान लेना।
अभ्यास प्रश्न
प्रत्येक प्रश्न में pi = 22/7 लें और आगे कोई सन्निकटन न करें।
- एक वृत्त का व्यास 28 m है। परिधि और क्षेत्रफल निकालिए।
- एक अर्धवृत्त की त्रिज्या 21 cm है। क्षेत्रफल और पूरा परिमाप निकालिए।
- pi के बताए गए मान के अनुसार एक वृत्त का क्षेत्रफल 1,386 cm² है। त्रिज्या और परिधि निकालिए।
- 90 cm लंबा तार किसी अर्धवृत्त की पूरी सीमा बनाता है, जिसमें उसका व्यास भी शामिल है। तार को कहीं दोहरा नहीं किया गया है। त्रिज्या और घिरा हुआ क्षेत्रफल निकालिए।
चरणबद्ध हल
चारों हलों में pi = 22/7 लिया गया है; कोई अतिरिक्त सन्निकटन नहीं किया गया है।
- त्रिज्या = 28/2 = 14 m। परिधि = (22/7) × 28 = 88 m। क्षेत्रफल = (22/7) × 196 = 616 m²।
- क्षेत्रफल = (22/7) × 21²/2 = 693 cm²। चाप = (22/7) × 21 = 66 cm; पूरा परिमाप = 66 + 42 = 108 cm।
- त्रिज्या² = 1,386 × 7/22 = 441, इसलिए त्रिज्या = 21 cm। परिधि = 2 × (22/7) × 21 = 132 cm।
- 90 = (22/7 + 2) × त्रिज्या = (36/7) × त्रिज्या। त्रिज्या = 90 × 7/36 = 17.5 cm। क्षेत्रफल = (22/7) × 17.5²/2 = 481.25 cm²।
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