संयुक्त ठोस और आयतन-संरक्षित रूपांतरण

सीखने का परिणाम

संयुक्त ठोसों को अलग भागों में बाँटें, खुला क्षेत्रफल निकालें और नई ढली वस्तुओं तथा बची सामग्री की गणना में आयतन संरक्षित रखें।

अवधारणाएँ और मान्यताएँ

एक-दूसरे में न घुसने वाले भागों के आयतन जोड़ते हैं; खोखला भाग बनने पर उसका आयतन घटता है। जोड़ने वाले फलकों की मोटाई या आयतन नहीं होता।

अलग-अलग ठोसों के कुल क्षेत्रफल जोड़ने पर हर संपर्क क्षेत्र दो बार गिना जाता है, जबकि उसकी दोनों सतहें छिप जाती हैं। दोनों घटाएँ। बचे बाहरी फलक और प्रश्न में माँगी गई खोखले भाग की दीवारें गिनें; छेद करने से आयतन घटते हुए भी क्षेत्रफल बढ़ सकता है।

दोबारा ढालने में आयतन संरक्षित रहता है, क्षेत्रफल नहीं, बशर्ते पदार्थ की हानि या उसके आयतन में बदलाव न हो। मूल आयतन को एक नई वस्तु के आयतन से बाँटें। वस्तुएँ पूरी होनी चाहिए: अपूर्ण संख्या को ऊपर की पूर्ण संख्या तक न बढ़ाएँ। अधिकतम पूरी संख्या लें और बची सामग्री सुरक्षित रखें; ऐसी स्थिति में पूरी सामग्री को केवल पूरी वस्तुओं में बदलना संभव नहीं है।

सेंटीमीटर में सटीक माप और निर्धारित सन्निकटन π = 22/7 लें; आगे पूर्णांकन न करें। जोड़ पूरी तरह सटे हैं, कोई भाग एक-दूसरे में घुसा नहीं है और गोंद की मोटाई नहीं है; बाकी सभी बाहरी फलक खुले हैं।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — जुड़े घन। 4 cm किनारे वाले दो घन एक पूरे फलक पर जोड़े जाते हैं। आयतन = 2 × 4³ = 128 cm³। अलग क्षेत्रफलों का योग 2 × 6 × 4² = 192 cm² है। दोनों छिपे फलक घटाएँ: खुला क्षेत्रफल = 192 - 2 × 16 = 160 cm²।

उदाहरण 2 — बेलन पर शंकु। बेलन की त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 10 cm है। समान त्रिज्या और 24 cm लंबवत ऊँचाई वाला लंब शंकु उसका ऊपरी फलक ढकता है; नीचे का आधार खुला रहता है। आधार का क्षेत्रफल = π × 7² = 154 cm²; शंकु की तिर्यक ऊँचाई = √(49 + 576) = 25 cm। आयतन = 154 × 10 + 154 × 24 ÷ 3 = 2772 cm³। वक्र क्षेत्रफल 2 × π × 7 × 10 = 440 cm² और π × 7 × 25 = 550 cm² हैं। नीचे का आधार जोड़ने पर 440 + 550 + 154 = 1144 cm² मिलता है।

उदाहरण 3 — दोबारा ढालना। 6 cm त्रिज्या वाले गोले को बिना हानि के 3 cm त्रिज्या और 4 cm ऊँचाई वाले शंकुओं में ढाला जाता है। गोले का आयतन = (4/3) × π × 6³ = 288 × π cm³। प्रत्येक शंकु को π × 3² × 4 ÷ 3 = 12 × π cm³ चाहिए। संख्या = 288 ÷ 12 = 24 पूरे शंकु; π कट जाता है।

आम गलतियाँ

पिघलाकर ढालने में क्षेत्रफल को संरक्षित न मानें। केवल एक छिपा संपर्क फलक न घटाएँ और बिना हिसाब के सामग्री न हटाएँ।

अभ्यास प्रश्न

1. 6 cm किनारे वाले दो घन एक पूरे फलक पर जुड़े हैं। आयतन और खुला क्षेत्रफल निकालें।
2. एक बेलन की त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 10 cm है। समान त्रिज्या वाला अर्धगोला उसका ऊपरी फलक ढकता है। नीचे के आधार सहित खुला क्षेत्रफल निकालें।
3. 20 cm × 15 cm × 10 cm घनाभ के केंद्र में 3.5 cm त्रिज्या का बेलनाकार छेद उसकी 10 cm ऊँचाई के आर-पार लंबवत किया जाता है। बचा आयतन और छेद की दीवार सहित खुला क्षेत्रफल निकालें।
4. 17 cm × 8 cm × 5 cm घनाभ को बिना हानि के 4 cm किनारे वाले घनों में ढालें। अधिकतम पूरे घनों की संख्या और बचा आयतन निकालें।

हल सहित उत्तर

1. आयतन = 2 × 6³ = 432 cm³। क्षेत्रफल = 2 × 6 × 6² - 2 × 6² = 360 cm²।
2. बेलन की दीवार = 2 × (22/7) × 7 × 10 = 440 cm²। अर्धगोले का वक्र क्षेत्रफल = 2 × (22/7) × 7² = 308 cm²; नीचे का आधार = 154 cm²। खुला क्षेत्रफल = 440 + 308 + 154 = 902 cm²।
3. छेद का आयतन = (22/7) × 3.5² × 10 = 385 cm³। बचा आयतन = 20 × 15 × 10 - 385 = 2615 cm³। मूल बाहरी क्षेत्रफल = 2 × (300 + 150 + 200) = 1300 cm²। प्रत्येक 38.5 cm² वाले दो वृत्त हटाएँ और छेद की दीवार 2 × (22/7) × 3.5 × 10 = 220 cm² जोड़ें। क्षेत्रफल = 1300 - 77 + 220 = 1443 cm²।
4. मूल आयतन = 17 × 8 × 5 = 680 cm³; प्रत्येक घन को 4³ = 64 cm³ चाहिए। दस घनों में 640 cm³ लगते हैं और 40 cm³ बचता है। पूरी सामग्री से केवल इसी आकार के पूरे घन नहीं बन सकते।