बेलनों का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

सीखने का परिणाम

त्रिज्या और व्यास तथा खुले और बंद पृष्ठों का अंतर समझते हुए लंब वृत्तीय बेलनों का वक्र क्षेत्रफल, कुल क्षेत्रफल और क्षमता निकालें।

अवधारणाएँ और मान्यताएँ

लंब वृत्तीय बेलन के वृत्ताकार आधार सर्वांगसम होते हैं और उनके बीच लंबवत दूरी h होती है। त्रिज्या r आधार के केंद्र से किनारे तक जाती है; व्यास = 2 × r।

वक्र दीवार को काटकर फैलाने पर आयत मिलता है। उसकी चौड़ाई आधार की परिधि, 2 × π × r, और ऊँचाई h है। इसलिए वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, CSA = 2 × π × r × h है। इसे पार्श्व क्षेत्रफल भी कहते हैं।

हर आधार का क्षेत्रफल π × r² है। बंद बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल, TSA = CSA + 2 × π × r²। ऊपर से खुले पात्र में केवल एक आधार है: क्षेत्रफल = CSA + π × r²। खुला मुँह पदार्थ से बनी वृत्ताकार सतह नहीं है।

हर क्षैतिज काट का वृत्ताकार क्षेत्रफल समान है। इन परतों को रखने से आयतन V = π × r² × h मिलता है। क्षमता के लिए भीतरी त्रिज्या और ऊँचाई चाहिए।

निर्धारित सन्निकटन के रूप में π = 22/7 लें और पूरी गणना में इसे बनाए रखें; अतिरिक्त पूर्णांकन न करें। नीचे की लंबाइयाँ सेंटीमीटर में सटीक दी गई हैं। पात्र पतली दीवार वाले हैं; भीतरी लेप में केवल एक सतह गिनी जाती है। सिलाई-जोड़ और अतिरिक्त चढ़ाव को अनदेखा करें। 1000 cm³ = 1 L लें।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — बंद बेलन। एक ठोस बेलन की त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 12 cm है। आधार का क्षेत्रफल = (22/7) × 49 = 154 cm²। CSA = 2 × (22/7) × 7 × 12 = 528 cm²। TSA = 528 + 2 × 154 = 836 cm²। आयतन = 154 × 12 = 1848 cm³।

उदाहरण 2 — खुला पात्र। ऊपर से खुले बेलनाकार पात्र का भीतरी व्यास 28 cm और ऊँचाई 30 cm है। त्रिज्या = 28 ÷ 2 = 14 cm। भीतरी वक्र क्षेत्रफल = 2 × (22/7) × 14 × 30 = 2640 cm²; आधार का क्षेत्रफल = 616 cm²। भीतरी लेप का क्षेत्रफल = 2640 + 616 = 3256 cm²। किनारे तक भरी क्षमता = 616 × 30 = 18480 cm³ = 18.48 L।

उदाहरण 3 — ऊँचाई खोजें। एक बेलन का आयतन 5390 cm³ और त्रिज्या 7 cm है। आधार का क्षेत्रफल 154 cm² है, इसलिए ऊँचाई = 5390 ÷ 154 = 35 cm। उसकी वक्र सतह को ठीक एक बार ढकने वाले आयताकार लेबल का क्षेत्रफल = 2 × (22/7) × 7 × 35 = 1540 cm² है। किसी आधार पर लेबल नहीं लगाया गया है।

आम गलतियाँ

व्यास दिया हो तो वर्ग करने से पहले उसका आधा लें। बंद ठोस में दोनों आधार शामिल हैं। मोटी खोखली नली के लिए भीतरी और बाहरी माप चाहिए; पदार्थ के आयतन में खोखला हिस्सा शामिल नहीं होता।

अभ्यास प्रश्न

1. एक बेलन का व्यास 14 cm और ऊँचाई 9 cm है। वक्र क्षेत्रफल और आयतन निकालें।
2. एक बंद बेलन की त्रिज्या 3.5 cm और ऊँचाई 16 cm है। कुल क्षेत्रफल और आयतन निकालें।
3. ऊपर से खुले पात्र की भीतरी त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 25 cm है। भीतरी लेप का क्षेत्रफल और क्षमता निकालें।
4. एक बेलन का व्यास 28 cm और आयतन 12320 cm³ है। उसकी ऊँचाई और वक्र क्षेत्रफल निकालें।

हल सहित उत्तर

1. त्रिज्या = 7 cm। CSA = 2 × (22/7) × 7 × 9 = 396 cm²। आयतन = 154 × 9 = 1386 cm³।
2. आधार का क्षेत्रफल = (22/7) × 3.5² = 38.5 cm²। CSA = 2 × (22/7) × 3.5 × 16 = 352 cm²। TSA = 352 + 77 = 429 cm²। आयतन = 38.5 × 16 = 616 cm³।
3. CSA = 2 × (22/7) × 7 × 25 = 1100 cm²। लेप का क्षेत्रफल = 1100 + 154 = 1254 cm²। क्षमता = 154 × 25 = 3850 cm³ = 3.85 L।
4. त्रिज्या = 14 cm; आधार का क्षेत्रफल = 616 cm²। ऊँचाई = 12320 ÷ 616 = 20 cm। CSA = 2 × (22/7) × 14 × 20 = 1760 cm²।