प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्णांक, परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ

सीखने का परिणाम

संख्याओं का सही वर्गीकरण करें, परिमेय दशमलव पहचानें और अपरिमेय संख्याओं की गणना में गलत नियमों से बचें।

अवधारणाएँ और उनके कारण

इस मॉड्यूल में प्राकृतिक संख्याएँ 1, 2, 3, … हैं; इनमें शून्य शामिल नहीं है। पूर्ण संख्याएँ 0, 1, 2, 3, … हैं। पूर्णांकों में ये और इनके ऋणात्मक रूप आते हैं: …, -2, -1, 0, 1, 2, …।

परिमेय संख्या को p/q के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ p और q पूर्णांक हों तथा q शून्य न हो। प्रत्येक पूर्णांक परिमेय है, क्योंकि n = n/1। हर में 0 रखना कभी मान्य नहीं है।

सांत दशमलव परिमेय है: दशमलव स्थानों के अनुसार हर 10, 100 आदि बनता है। अंततः आवर्ती दशमलव भी परिमेय है; 10 की उपयुक्त घातों से गुणा करके घटाने पर दोहराने वाला हिस्सा हट जाता है।

अपरिमेय संख्या ऐसी भिन्न के रूप में नहीं लिखी जा सकती। उसका दशमलव प्रसार न समाप्त होता है, न अंततः आवर्ती होता है। उदाहरण हैं √2 और π। परिमेय और अपरिमेय मिलकर वास्तविक संख्याएँ बनाते हैं। 1.414 जैसा अनुमानित दशमलव स्वयं परिमेय है, भले उसका उपयोग अपरिमेय संख्या का अनुमान लगाने में हो।

परिमेय संख्याएँ जोड़ने या घटाने पर परिमेय परिणाम मिलता है: समान हर लेने पर दूसरी भिन्न बनती है। लेकिन दो अपरिमेय संख्याओं के योग और गुणनफल की अलग जाँच जरूरी है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1. -7, 0, 4 और 3/5 का वर्गीकरण करें। पहली तीन पूर्णांक और परिमेय हैं। इनमें 0 और 4 पूर्ण संख्याएँ हैं, लेकिन केवल 4 प्राकृतिक है। 3/5 परिमेय है, पूर्णांक नहीं। कोई अपरिमेय नहीं है।

उदाहरण 2. मानें x = 0.272727…, जिसमें 27 दोहरता है। तब 100x = 27.272727…। घटाने पर 99x = 27, इसलिए x = 3/11।

उदाहरण 3. अपरिमेय संख्याओं से परिमेय परिणाम मिल सकते हैं: √2 + (-√2) = 0 और √2 × √2 = 2। अन्य चुनावों से अपरिमेय परिणाम मिलते हैं: √2 + √2 = 2√2 और √2 × √3 = √6। इसलिए “हमेशा अपरिमेय” का नियम सही नहीं है।

आम गलतियाँ

हर वर्गमूल को अपरिमेय न मानें: √9 = 3। ऋण चिह्न किसी संख्या को अपरिमेय नहीं बनाता। वर्ग एक-दूसरे में शामिल हो सकते हैं; प्राकृतिक संख्या पूर्णांक और परिमेय भी होती है।

अभ्यास प्रश्न

1. ऊपर बताए सभी लागू वर्गों में 1, -5/2 और √9 का वर्गीकरण करें।
2. 0.363636… को भिन्न में बदलें, जिसमें 36 दोहरता है।
3. 5 + √2 परिमेय है या अपरिमेय? कारण बताएँ।

उत्तर और व्याख्या

1. 1 और √9 = 3 दोनों प्राकृतिक, पूर्ण, पूर्णांक और परिमेय हैं। -5/2 इन वर्गों में केवल परिमेय है। तीनों वास्तविक हैं।
2. x = 0.363636… लेकर 100x से x घटाएँ: 99x = 36। इसलिए x = 36/99 = 4/11।
3. यह अपरिमेय है। यदि 5 + √2 परिमेय होता, तो उसमें से परिमेय संख्या 5 घटाने पर √2 भी परिमेय होता, जो विरोधाभास है।