भिन्नों और दशमलवों का परस्पर रूपांतरण

सीखने का लक्ष्य

भिन्नों और दशमलवों का दोनों दिशाओं में रूपांतरण करना, आवर्ती दशमलवों से भिन्न निकालना तथा सटीक रूपांतरण और पूर्णांकित सन्निकटन में अंतर करना।

रूपांतरण को समझें

भिन्न और दशमलव एक ही मात्रा दर्शा सकते हैं। मान बदले बिना ऐसा रूप चुनें जिससे कार्य सरल हो।

सांत दशमलव से भिन्न बनाने के लिए दशमलव बिंदु हटाकर अंश प्राप्त करें। दशमलव स्थानों की संख्या के अनुसार हर 10, 100, 1000 आदि लें। ऋण चिह्न हो तो बनाए रखें और भिन्न सरल करें। दशमलव बिंदु के तुरंत बाद के शून्य भी स्थानों की गिनती में आते हैं।

भिन्न को दशमलव बनाने के लिए अंश को हर से भाग दें। सुविधाजनक होने पर समतुल्य भिन्न बनाकर हर को दस की घात में भी बदल सकते हैं। पहले सीखा गया सरलतम हर का परीक्षण बताता है कि सटीक सांत रूप संभव है या नहीं।

आवर्ती दशमलव के लिए x को सटीक संख्या का नाम मानें। दस की घातों से गुणा करने पर दशमलव बिंदु खिसकता है। समान आवर्ती हिस्से मिलाने वाली घातें चुनकर घटाएँ। हिस्से पूरे अनंत क्रम की समानता से कटते हैं, न कि इसलिए कि लिखे हुए सीमित अंक सटीक मान हैं।

सटीक संबंध के लिए = लिखें। पूर्णांकित मान मूल संख्या से अलग हो तो ≈ लगाएँ और दशमलव स्थानों की संख्या बताएँ। गणना पूरी होने से पहले बीच के मानों का पूर्णांकन न करें।

हल किए हुए उदाहरण

उदाहरण 1: -0.375 को सरलतम भिन्न में बदलें।

तीन दशमलव स्थानों के लिए हर 1000 चाहिए: -0.375 = -375/1000। अंश और हर को 125 से भाग देने पर -3/8 मिलता है। ऋण चिह्न पूरे मान पर बना रहता है; दशमलव बिंदु हटाने से चिह्न नहीं हटता।

उदाहरण 2: 7/16 को सटीक दशमलव में बदलें।

चूँकि 16 × 625 = 10000, इसलिए अंश को भी उसी गुणक से गुणा करें: 7 × 625 = 4375। अतः 7/16 = 4375/10000 = 0.4375। चार दशमलव स्थान हर 10000 के अनुरूप हैं।

उदाहरण 3: 0.2777... को भिन्न में बदलें, जहाँ 7 हमेशा दोहरता है।

मान लें x = 0.2777..., तब 10 × x = 2.777... और 100 × x = 27.777..., जिनके आवर्ती हिस्से समान हैं। घटाने पर 90 × x = 25 मिलता है। 90 से भाग दें: x = 25/90 = 5/18। शुरुआती 2 अनावर्ती था, इसलिए तुरंत शुरू होने वाले आवर्ती दशमलव से अलग स्थानांतरण चाहिए था।

सामान्य गलतियाँ

शुरुआती शून्य सहित सभी दशमलव स्थान गिनें। अंतिम भिन्न सरल करें। अनावर्ती शुरुआत वाले दशमलव पर तुरंत शुरू होने वाली आवृत्ति का शॉर्टकट न लगाएँ। पूर्णांकित सीमित दशमलव सामान्यतः मूल आवर्ती मान के बराबर नहीं होता।

अभ्यास प्रश्न

1. 0.048 को सरलतम भिन्न में बदलें।
2. 1 + 7/20 को सटीक दशमलव में बदलें।
3. 0.363636... को सरलतम भिन्न में बदलें, जहाँ 36 आवर्ती अंकसमूह है।
4. 5/6 का दशमलव प्रसार लिखें और दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकन करें।

व्याख्या सहित उत्तर

1. तीन दशमलव स्थान हैं: 0.048 = 48/1000। दोनों संख्याओं को 8 से भाग देने पर 6/125 मिलता है।
2. चूँकि 7/20 = 35/100 = 0.35, इसलिए पूरी मात्रा 1 + 0.35 = 1.35 है।
3. मान लें x = 0.363636..., तब 100 × x = 36.363636..., जिनके दशमलव भाग समान हैं। x घटाने पर 99 × x = 36 मिलता है। इसलिए x = 36/99 = 4/11।
4. भाग से 5/6 = 0.833333... मिलता है, जिसमें 3 आवर्ती है। तीसरा दशमलव अंक 3 है, इसलिए शतांश का अंक नहीं बदलता: दो दशमलव स्थानों तक 5/6 ≈ 0.83।