राशियों को अनुपात में बाँटना

सीखने का उद्देश्य

कुल बाँटना और दिए गए अंतर से राशियाँ निकालना सीखें। क्रम और इकाइयों का ध्यान रखें।

अनुपात में हिस्से समझें

अनुपात के पद समान भागों की संख्या बताते हैं, वास्तविक राशियाँ नहीं। धनात्मक कुल T को धनात्मक a:b में बाँटने के लिए पहले a और दूसरे b भाग मानें: कुल a + b भाग।

प्रत्येक भाग का मान T/(a + b) है। इसे a और b से गुणा करने पर क्रमशः दोनों हिस्से मिलते हैं। समान भाग-आकार से अनुपात a:b रहता है। सभी भाग बाँटने से योग T है।

a:b:c में कुल a + b + c भाग लें। अधिक हिस्सों में यही तर्क है। अनुपात सरल करने से गणना घटती है, हिस्से नहीं बदलते।

हिस्से-से-हिस्से और हिस्से-से-कुल की तुलना अलग हैं। a:b में पहला हिस्सा दूसरे का a/b गुना, लेकिन कुल का a/(a + b) है। गलत हर दूसरे प्रश्न का उत्तर देता है।

धनात्मक अंतर D दिया हो और a > b हो, तो एक भाग D/(a − b) है। बड़े हिस्से में a − b अतिरिक्त भाग हैं; इसलिए अंतर से भाग दें, योग से नहीं।

माप जोड़ने से पहले इकाइयाँ समान करें। दिया गया कुल या अंतर और अनुपात, दोनों जाँचें। अविभाज्य वस्तुओं के हिस्से पूर्ण संख्याएँ भी होने चाहिए।

उदाहरण 1

₹1560 को A और B में 5:7 के अनुपात में बाँटें।

कुल भाग = 5 + 7 = 12। एक भाग = 1560/12 = ₹130। इसलिए A को 5 × 130 = ₹650 और B को 7 × 130 = ₹910 मिलेंगे। योग ₹1560 है; दोनों को 130 से भाग देने पर 5:7 मिलता है।

उदाहरण 2

4.2 kg मिश्रण को 2:3:5 के अनुपात में तीन हिस्सों में बाँटें।

4.2 kg को 4200 g में बदलें। कुल 2 + 3 + 5 = 10 भाग हैं, इसलिए एक भाग 4200/10 = 420 g है। हिस्से क्रमशः 840 g, 1260 g और 2100 g होंगे। योग 4200 g है; समान भागों की संख्याएँ सही अनुपात में हैं।

उदाहरण 3

दो धनात्मक लंबाइयाँ 7:4 के अनुपात में हैं। बड़ी लंबाई छोटी से 18 cm अधिक है। दोनों निकालें।

अंतर 7 − 4 = 3 भाग दर्शाता है। एक भाग 18/3 = 6 cm है। इसलिए लंबाइयाँ 7 × 6 = 42 cm और 4 × 6 = 24 cm हैं। उनका अंतर दिए अनुसार 18 cm है।

सामान्य गलतियाँ

कुल को अनुपात के केवल एक पद से भाग न दें। हिस्सेदारों का क्रम बनाए रखें तथा कुल और अंतर को अलग पहचानें। राशियों का सही योग, सही अनुपात की गारंटी नहीं है।

अभ्यास प्रश्न

1. ₹1980 को 4:5 के अनुपात में बाँटें।
2. 3.6 L को 1:2:3 के अनुपात में बाँटें। प्रत्येक हिस्सा मिलीलीटर में बताएँ।
3. 84 एक जैसी नोटबुक A, B और C में 3:4:5 के अनुपात में बाँटें।
4. दो धनात्मक धनराशियों का अनुपात 9:5 है। बड़ी राशि छोटी से ₹320 अधिक है। दोनों निकालें।

हल सहित उत्तर

1. कुल 9 भाग हैं। प्रत्येक 1980/9 = ₹220 है, इसलिए हिस्से ₹880 और ₹1100 हैं। उनका योग ₹1980 है।
2. कुल को 3600 mL में बदलें। 6 भाग हैं, प्रत्येक 600 mL का। हिस्से 600 mL, 1200 mL और 1800 mL हैं।
3. कुल 12 भाग हैं, प्रत्येक में 84/12 = 7 नोटबुक हैं। A, B और C को क्रमशः 21, 28 और 35 मिलेंगी।
4. अंतर में 9 − 5 = 4 भाग हैं। प्रत्येक 320/4 = ₹80 है। राशियाँ ₹720 और ₹400 हैं; उनका अंतर ₹320 है।