चक्रवृद्धि ब्याज और क्रमिक संचय
सीखने का परिणाम
हर अवधि का चक्रवृद्धि मिश्रधन बनाएँ और कुल चक्रवृद्धि ब्याज को किसी विशेष वर्ष के ब्याज से अलग पहचानें।
अवधारणाएँ और मान्यताएँ
चक्रवृद्धि ब्याज में हर पूरी अवधि का ब्याज शेष रकम में जुड़ता है। बढ़ी हुई रकम अगली अवधि का आधार बनती है। साधारण ब्याज के विपरीत, बाद के ब्याज में पिछले ब्याज पर बना ब्याज भी शामिल हो सकता है।
P शुरुआती मूलधन और r% वार्षिक दर है। वार्षिक चक्रवृद्धि में एक अवधि एक वर्ष है, इसलिए वार्षिक दर ही प्रति-अवधि दर है। एक वर्ष बाद A1 = P × (1 + r/100)। वही गुणक दोबारा लगाने पर A2 = P × (1 + r/100)^2 मिलता है।
स्थिर दर पर n पूरे वर्षों के बाद:
A = P × (1 + r/100)^n; कुल चक्रवृद्धि ब्याज CI = A - P।
घातांक बताता है कि गुणा कितनी बार दोहराना है; वह प्रतिशत दर को गुणा नहीं करता। किसी विशेष वर्ष का ब्याज उस वर्ष की शुरुआती रकम × r/100 है, जरूरी नहीं कि P × r/100 हो।
वार्षिक दरें बदलें तो क्रम से हर वर्ष का अपना गुणक लगाएँ। सभी वर्षों के लिए एक बताई दर रखकर स्थिर-दर वाला घात सूत्र लागू नहीं होगा।
मानें कि मूलधन धनात्मक, वार्षिक दरें अऋणात्मक और पूरा ब्याज रकम में बना रहता है। कोई अतिरिक्त जमा, निकासी, बीच में भुगतान या शुल्क नहीं है। यहाँ पूरी वार्षिक अवधियाँ हैं। 12 महीने एक वर्ष बनाते हैं, लेकिन अधूरी वार्षिक अवधि का नियम अलग बताया जाना चाहिए; अपने-आप भिन्नात्मक घातांक न लगाएँ। दिनों के लिए साधारण ब्याज का विस्तार स्पष्ट रूप से दिया हो तो बताई वर्ष-परिपाटी लें, काल्पनिक चक्रवृद्धि अवधि नहीं।
हर बीच का मान सटीक रखें। जरूरत पर केवल अंतिम रकम को निकटतम ₹0.01 तक पूर्णांकित करें; आधा पैसा होने पर ऊपर की ओर जाएँ।
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — दो वार्षिक चरण। ₹7,500 पर 4% वार्षिक चक्रवृद्धि दर से 2 वर्ष का ब्याज है। पहले वर्ष का ब्याज = 7500 × 0.04 = ₹300; शेष रकम = ₹7,800। दूसरे वर्ष का ब्याज = 7800 × 0.04 = ₹312; शेष रकम = ₹8,112। इसलिए CI = 8112 - 7500 = ₹612।
उदाहरण 2 — तीन वार्षिक चरण। ₹12,500 पर 3 वर्षों के लिए 8% दर है। क्रमिक रकम 12500 × 1.08 = ₹13,500, फिर 13500 × 1.08 = ₹14,580, फिर 14580 × 1.08 = ₹15,746.40 है। इसलिए A = ₹15,746.40 और CI = 15746.40 - 12500 = ₹3,246.40।
उदाहरण 3 — अलग वार्षिक दरें। ₹16,000 पर लगातार तीन वर्षों में 6%, 5% और 8% दरें हैं। रकम 16000 × 1.06 = ₹16,960, फिर 16960 × 1.05 = ₹17,808, फिर 17808 × 1.08 = ₹19,232.64 बनती है। कुल CI = 19232.64 - 16000 = ₹3,232.64। हर दर उस वर्ष की शुरुआती रकम पर लगती है।
आम गलतियाँ
मिश्रधन को ब्याज न बताएँ। हर वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज शुरुआती मूलधन पर न निकालें। दरें सीधे नहीं जोड़ी जा सकतीं; स्थिर-दर का छोटा तरीका तभी है जब दर स्थिर हो।
अभ्यास प्रश्न
- ₹5,400 पर 10% दर से 2 वर्षों का मिश्रधन और चक्रवृद्धि ब्याज निकालें; संयोजन वार्षिक है।
- ₹20,000 पर 5% दर से 3 वर्षों का मिश्रधन और चक्रवृद्धि ब्याज निकालें; संयोजन वार्षिक है।
- ₹11,000 पर 6% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज है। दूसरे वर्ष का ब्याज और 2 वर्षों के बाद मिश्रधन निकालें।
- ₹18,000 पर पहले वर्ष 5% और दूसरे वर्ष 6% ब्याज है, जिसका संयोजन वार्षिक है। मिश्रधन और कुल ब्याज निकालें।
हल सहित उत्तर
- रकम 5400 × 1.10 = ₹5,940 और 5940 × 1.10 = ₹6,534 है। CI = 6534 - 5400 = ₹1,134।
- हर वर्ष 1.05 से गुणा करने पर रकम ₹21,000, ₹22,050 और ₹23,152.50 है। CI = 23152.50 - 20000 = ₹3,152.50।
- पहली रकम = 11000 × 1.06 = ₹11,660। दूसरे वर्ष का ब्याज = 11660 × 0.06 = ₹699.60; मिश्रधन = 11660 + 699.60 = ₹12,359.60।
- रकम 18000 × 1.05 = ₹18,900 और 18900 × 1.06 = ₹20,034 है। कुल ब्याज = 20034 - 18000 = ₹2,034।
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