त्रिभुज के कोणों और भुजाओं के गुण

सीखने का परिणाम

त्रिभुज के कोण निकालें, उनके सामने की भुजाओं की तुलना करें और तय करें कि प्रस्तावित लंबाइयों से त्रिभुज बन सकता है या नहीं।

अवधारणाएँ और मान्यताएँ

यूक्लिडीय त्रिभुज तीन असंरेख बिंदुओं को सीधे रेखाखंडों से जोड़ता है। लंबाइयाँ और अंतःकोण धनात्मक हैं। ∠A का अर्थ शीर्ष A का अंतःकोण है।

तीनों अंतःकोणों का योग 180° है। कारण समझने के लिए एक शीर्ष से सामने की भुजा के समांतर रेखा खींचें। एकांतर अंतःकोणों से दूसरे दोनों कोण उस सीधी रेखा पर बनते हैं; तीनों मिलकर 180° देते हैं।

एक भुजा आगे बढ़ाने से बना बाह्य कोण आसन्न अंतःकोण का संपूरक है। इसलिए वह दोनों अनासन्न अंतःकोणों के योग के बराबर है। गैर-प्रतिवर्ती बाह्य कोण लें।

बराबर भुजाओं के सामने बराबर कोण और बराबर कोणों के सामने बराबर भुजाएँ होती हैं। इसलिए समद्विबाहु त्रिभुज के दोनों आधार-कोण बराबर हैं; समबाहु त्रिभुज में तीनों कोण 60° हैं। सामने की स्थिति ध्यान से पहचानें: भुजा AB, ∠C के सामने है, ∠A या ∠B के सामने नहीं।

बड़े कोण के सामने बड़ी भुजा होती है और इसका उलटा भी सही है। कोणों का योग 180° होने से त्रिभुज में अधिकतम एक समकोण या अधिककोण हो सकता है।

भुजाएँ a, b और c हों तो किन्हीं दो का योग तीसरी से बड़ा होना चाहिए। समान रूप से, a और b ज्ञात हों तो |a - b| < c < a + b, जहाँ |a - b| निरपेक्ष अंतर है। टेढ़ा मार्ग सीधे रेखाखंड से लंबा होता है। बराबरी पर सीधा, अपकृष्ट आकार बनता है, त्रिभुज नहीं।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — अज्ञात कोण और बराबर भुजाएँ। त्रिभुज ABC में ∠A = 46° और ∠B = 67°। तब ∠C = 180° - 46° - 67° = 67°। चूँकि ∠B = ∠C, सामने की भुजाएँ AC और AB बराबर हैं। त्रिभुज समद्विबाहु है।

उदाहरण 2 — बाह्य कोण। त्रिभुज PQR में QR को R के आगे S तक बढ़ाएँ, ताकि Q-R-S इसी क्रम में एक रेखा पर हों। ∠PRS = 126°, ∠P = (2x + 6)° और ∠Q = (3x + 10)° दिया है। बाह्य कोण नियम से 5x + 16 = 126। इसलिए x = 22, ∠P = 50°, ∠Q = 76° और ∠R = 54°। PR सबसे लंबी है, क्योंकि वह 76° के सामने है।

उदाहरण 3 — संभव लंबाइयाँ। दो भुजाएँ 8 cm और 13 cm हैं; तीसरी x cm है, जहाँ x पूर्णांक है। सीमाएँ 13 - 8 < x < 13 + 8 हैं, इसलिए 5 < x < 21। अतः x के मान 6, 7, …, 20 हो सकते हैं: 20 - 6 + 1 = 15 संभावनाएँ। कोई भी सिरा शामिल नहीं है।

आम गलतियाँ

तीन अंतःकोणों के साथ बाह्य कोण न जोड़ें। बराबर भुजाओं को उनके सामने के कोणों से मिलाएँ। दो लंबाइयों का योग ठीक तीसरी के बराबर हो तो त्रिभुज नहीं बनता।

अभ्यास प्रश्न

1. त्रिभुज ABC में ∠A:∠B:∠C = 2:3:4। कोण और सबसे लंबी भुजा निकालें।
2. त्रिभुज ABC में AB = AC और ∠A = 38°। ∠B और ∠C निकालें।
3. त्रिभुज PQR में Q-R-S इसी क्रम में एक रेखा पर हैं, ∠PRS = 115° और ∠P = 47°। ∠Q और ∠R निकालें।
4. दो भुजाएँ 9 cm और 14 cm हैं। तीसरी भुजा की सभी संभव पूर्णांक लंबाइयाँ और उनकी संख्या निकालें।

हल सहित उत्तर

1. अनुपात के 9 हिस्सों का योग 180° है, इसलिए हर हिस्सा 20° है। कोण 40°, 60° और 80° हैं; भुजा AB, 80° के सामने है और सबसे लंबी है।
2. बराबर भुजाओं से ∠B = ∠C। प्रत्येक का मान (180° - 38°)/2 = 71° है।
3. बाह्य कोण संबंध से ∠Q = 115° - 47° = 68°। आसन्न ∠R = 180° - 115° = 65°।
4. सीमाएँ 5 < x < 23 हैं। पूर्णांक लंबाइयाँ 6, 7, …, 22 cm हैं, इसलिए 22 - 6 + 1 = 17 संभावनाएँ हैं।