साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज की तुलना
सीखने का परिणाम
समान शर्तों पर साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज की तुलना करें तथा दो-वर्षीय अंतर का छोटा सूत्र केवल उसकी शर्तें पूरी होने पर लगाएँ।
अवधारणाएँ और मान्यताएँ
समान आधार पर संख्यात्मक तुलना में मूलधन, समय और बताई दर समान रखी जाती है। साधारण ब्याज हर वर्ष शुरुआती मूलधन लेता है; चक्रवृद्धि ब्याज पिछले ब्याज को रकम में जोड़ता है। मूलधन समान हो तो मिश्रधनों का अंतर ब्याजों के अंतर के बराबर है।
P > 0, स्थिर वार्षिक दर r% और n पूरे वर्षों के लिए:
SI = P × r × n/100।
वार्षिक चक्रवृद्धि का CI = P × (1 + r/100)^n - P।
समान धनात्मक वार्षिक दर और वार्षिक चक्रवृद्धि में एक वर्ष बाद SI और CI समान हैं; दो या अधिक पूरे वर्षों के बाद CI अधिक है। दर शून्य हो तो दोनों शून्य हैं। वर्ष में एक से अधिक बार चक्रवृद्धि होने पर पहले वर्ष की समानता जरूरी नहीं।
ठीक दो वर्षों की वार्षिक चक्रवृद्धि में x = r/100 लें। चक्रवृद्धि मिश्रधन P × (1 + 2 × x + x^2) और साधारण मिश्रधन P × (1 + 2 × x) है। इसलिए:
CI - SI = P × (r/100)^2।
इस छोटे सूत्र के लिए समान मूलधन, वही स्थिर वार्षिक दर, वार्षिक चक्रवृद्धि और ठीक दो वर्ष चाहिए। यह तीन वर्षों, बदलती दरों या दो अर्धवार्षिक अवधियों का सामान्य सूत्र नहीं है।
मानें कि कोई अतिरिक्त जमा, निकासी, बीच में भुगतान या शुल्क नहीं है। वर्ष में एक से अधिक चक्रवृद्धि वाले उदाहरणों में नाममात्र वार्षिक दर को वार्षिक अवधियों की संख्या से बाँटें। वर्ष में 12 महीने लें; शेष दिनों या महीनों का चक्रवृद्धि नियम बिना बताए न चुनें। स्पष्ट रूप से दिए साधारण ब्याज वाले दैनिक विस्तार में बताई 365-दिन की परिपाटी लें। बीच के मान सटीक रखें और अंतिम रकम ₹0.01 तक पूर्णांकित करें; आधा पैसा होने पर ऊपर जाएँ।
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — सीधी तुलना। ₹6,250 पर 8% दर से 2 वर्षों में SI = 6250 × 8 × 2/100 = ₹1,000। चक्रवृद्धि रकम 6250 × 1.08 = ₹6,750 और 6750 × 1.08 = ₹7,290 है। CI = 7290 - 6250 = ₹1,040। अंतर ₹40 है, जो 6250 × 0.08^2 भी है।
उदाहरण 2 — अंतर से मूलधन। 7% पर दो-वर्षीय वार्षिक CI–SI अंतर ₹147 है। इसलिए 147 = P × 0.07^2 = P × 0.0049, जिससे P = 147 ÷ 0.0049 = ₹30,000। जाँच: SI = 30000 × 7 × 2/100 = ₹4,200 और CI = 30000 × 1.07^2 - 30000 = ₹4,347; अंतर ₹147 है।
उदाहरण 3 — तीन वर्षों की अलग गणना। ₹18,000 पर 4% दर से 3 वर्षों की तुलना करें। SI = 18000 × 4 × 3/100 = ₹2,160। चक्रवृद्धि रकम 18000 × 1.04 = ₹18,720, फिर 18720 × 1.04 = ₹19,468.80, फिर 19468.80 × 1.04 = ₹20,247.552 है। CI = 20247.552 - 18000 = ₹2,247.552 ≈ ₹2,247.55। अंतर = 2247.552 - 2160 = ₹87.552 ≈ ₹87.55। दो-वर्षीय छोटा सूत्र लागू नहीं है।
आम गलतियाँ
ब्याज की तुलना ब्याज से करें, मिश्रधन से नहीं। छोटा सूत्र लगाने से पहले चक्रवृद्धि की आवृत्ति जाँचें। अंतिम अंतर पूर्णांकित करने से पहले बीच के सटीक मान घटाएँ।
अभ्यास प्रश्न
- ₹9,600 पर 5% दर से 2 वर्षों के SI और वार्षिक CI की तुलना करें।
- 8% दर पर दो-वर्षीय वार्षिक CI–SI अंतर ₹96 है। साझा मूलधन निकालें।
- ₹16,000 पर 5% दर से 3 वर्षों के SI और वार्षिक CI की तुलना करें।
- ₹12,000 पर नाममात्र वार्षिक 10% दर से एक वर्ष के SI और अर्धवार्षिक CI की तुलना करें।
हल सहित उत्तर
- SI = 9600 × 5 × 2/100 = ₹960। CI = 9600 × 1.05^2 - 9600 = ₹984। CI, SI से ₹24 अधिक है।
- P = 96 ÷ 0.08^2 = 96 ÷ 0.0064 = ₹15,000। जाँच: SI = ₹2,400, CI = ₹2,496, अंतर = ₹96।
- SI = 16000 × 5 × 3/100 = ₹2,400। CI = 16000 × 1.05^3 - 16000 = ₹2,522। अंतर = ₹122।
- SI = 12000 × 10/100 = ₹1,200। अर्धवार्षिक दर = 5% और अवधियाँ 2 हैं। CI = 12000 × 1.05^2 - 12000 = ₹1,230। अंतर = ₹30।
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