वर्गमूलों का अनुमान लगाना

सीखने का परिणाम

अऋणात्मक वर्गमूलों की सीमाएँ तय करें, दशमलव अनुमानों को सुधारें और सीमाओं तथा मध्यबिंदुओं के वर्गों से पूर्णांकन की पुष्टि करें।

अवधारणाएँ और मान्यताएँ

N ≥ 0 के लिए √N अऋणात्मक मुख्य वर्गमूल है। वर्गमूल वाला रूप सटीक है; पूर्णांकित दशमलव अनुमानित है, इसलिए = की जगह ≈ लिखें। N > 0 होने पर x² = N हल करने में दोनों चिह्न चाहिए, जबकि वास्तविक लंबाई के लिए धनात्मक वर्गमूल लेते हैं।

अऋणात्मक संख्याओं का वर्ग करने पर उनका क्रम बना रहता है। यदि 0 ≤ a < b, तो b² - a² = (b - a) × (b + a) > 0। इसलिए a² < N < b² से a < √N < b सिद्ध होता है।

क्रमागत पूर्णांक वर्गों से शुरू करें: n² ≤ N < (n + 1)²। पूर्णांक वर्गमूल n है, लेकिन जरूरी नहीं कि √N के सबसे नजदीक का पूर्णांक भी n हो। दशांश, शतांश या उससे छोटे अंतर वाले मान जाँचकर सीमा को अधिक सटीक बनाएँ।

पूर्णांकन में माँगी गई सटीकता जरूरी है। पड़ोसी संभावित उत्तरों के मध्यबिंदु का वर्ग निकालकर तय करें कि वास्तविक वर्गमूल उसके किस ओर है। ठीक आधे पर होने की स्थिति में यहाँ ऊपर की ओर पूर्णांकित करें। N की दो वर्ग संख्याओं से दूरियाँ मिलाना, √N की उनके वर्गमूलों से दूरियाँ मिलाने के समान नहीं है।

दशमलव काटने में आगे के अंक केवल हटा दिए जाते हैं; पूर्णांकन में बचे हुए मान को बढ़ाना पड़ सकता है। निकटतम 0.01 तक पूर्णांकित उत्तर की निरपेक्ष त्रुटि अधिकतम 0.005 है। उस उत्तर के वर्ग और N का अंतर अलग मात्रा है, वर्गमूल की त्रुटि नहीं।

नीचे सभी दिए मान सटीक हैं। जाँच की गणनाओं में पूरी सटीकता बनाए रखें और केवल अंतिम वर्गमूल को पूर्णांकित करें।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — निकटतम पूर्णांक। चूँकि 13² = 169 < 187 < 196 = 14², इसलिए 13 < √187 < 14। मध्यबिंदु 13.5 है, जिसका वर्ग 182.25 है। 187 > 182.25 होने से वर्गमूल 13.5 से बड़ा है। इसलिए निकटतम पूर्णांक तक √187 ≈ 14।

उदाहरण 2 — निकटतम दशांश। √58 का अनुमान लगाने के लिए 7.6² = 57.76 और 7.7² = 59.29 निकालें। इसलिए 7.6 < √58 < 7.7। इनका मध्यबिंदु 7.65 है और 7.65² = 58.5225 > 58। वर्गमूल 7.65 से छोटा है, इसलिए निकटतम 0.1 तक √58 ≈ 7.6।

उदाहरण 3 — त्रुटि की जाँच सहित लंबाई। एक वर्ग का क्षेत्रफल 123 m² है, इसलिए उसकी धनात्मक भुजा √123 m है। चूँकि 11² = 121 और 11.1² = 123.21, भुजा 11 और 11.1 m के बीच है। सीमा सुधारें: 11.09² = 122.9881 < 123, जबकि 11.095² = 123.099025 > 123। इसलिए 11.09 < √123 < 11.095। निकटतम 0.01 m तक भुजा लगभग 11.09 m है और त्रुटि 0.005 m से कम है।

आम गलतियाँ

निचली सीमा अपने-आप पूर्णांकित उत्तर नहीं होती। वर्गमूल को रैखिक रूप से बदलता हुआ न मानें। माँगे गए दशमलव स्थान लिखें और सन्निकटन का चिह्न बनाए रखें।

अभ्यास प्रश्न

1. √215 किन दो क्रमागत पूर्णांकों के बीच है?
2. √73 को निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करें।
3. मध्यबिंदु की जाँच से √6 को निकटतम 0.1 तक पूर्णांकित करें।
4. √11 को निकटतम 0.01 तक पूर्णांकित करें और सिद्ध करें कि त्रुटि 0.005 से कम है।

हल सहित उत्तर

1. चूँकि 14² = 196 < 215 < 225 = 15², इसलिए 14 < √215 < 15।
2. 8² = 64 और 9² = 81 की सीमाओं के बीच 73 है। चूँकि 8.5² = 72.25 < 73, इसलिए √73 > 8.5। अतः √73 ≈ 9।
3. 2.4² = 5.76 और 2.5² = 6.25 के बीच 6 है। मध्यबिंदु का वर्ग 2.45² = 6.0025 > 6 है, इसलिए √6 < 2.45। अतः √6 ≈ 2.4।
4. चूँकि 3.31² = 10.9561 < 11 < 11.0224 = 3.32², मध्यबिंदु 3.315 जाँचें। उसका वर्ग 10.989225 < 11 है। इसलिए 3.315 < √11 < 3.32, जिससे √11 ≈ 3.32 और त्रुटि 0.005 से कम है।