इकाई अंक और दोहराने वाले चक्र

सीखने का परिणाम

छोटे चक्रों से बड़ी घातों के इकाई अंक निकालें, खासकर जब घातांक को चक्र-लंबाई से बाँटने पर शेषफल शून्य हो।

अवधारणाएँ और उनके कारण

दशाधारी रूप में लिखे अऋणात्मक पूर्णांक का अंतिम अंक इकाई अंक है। यहाँ आधार अऋणात्मक पूर्णांक और घातांक धनात्मक पूर्णांक हैं। a^n का अर्थ a की n प्रतियों का गुणनफल है; n = 1 पर यह केवल a है।

गुणनफल का इकाई अंक निकालने में केवल इकाई अंक जरूरी हैं। यदि दो संख्याएँ 10A + a और 10B + b हैं, तो उनके गुणनफल और a × b का अंतर 10 का गुणज है। इसी तरह योग का इकाई अंक केवल इकाई अंकों के योग पर निर्भर है।

बार-बार गुणा करने से ये चक्र मिलते हैं, जिन्हें घातांक 1 से लिखा गया है:

0, 1, 5 और 6 हर धनात्मक घातांक पर अपना अंक बनाए रखते हैं।

4 का चक्र 4, 6; 9 का 9, 1 है।

2 का चक्र 2, 4, 8, 6; 3 का 3, 9, 7, 1 है।

7 का चक्र 7, 9, 3, 1; 8 का 8, 4, 2, 6 है।

अगला इकाई अंक केवल वर्तमान इकाई अंक और आधार के अंतिम अंक पर निर्भर है। अंक दोहराने पर आगे वही क्रम चलता है; इसी से चक्र बनते हैं।

घातांक को चक्र की लंबाई से बाँटें। धनात्मक शेषफल उसी स्थान का अंक चुनता है। शेषफल 0 पर अंतिम स्थान चुनें, अंक 0 नहीं, क्योंकि पूरे चक्र वहीं समाप्त होते हैं।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1. 7^23 का इकाई अंक निकालें। चक्र 7, 9, 3, 1 है। 23 = 4 × 5 + 3, इसलिए तीसरी प्रविष्टि चुनें: 3।

उदाहरण 2. 12^20 का इकाई अंक निकालें। 2 का चक्र लें: 2, 4, 8, 6। 20, 4 से पूरा विभाजित होता है, इसलिए चौथी प्रविष्टि चुनें: 6।

उदाहरण 3. 34^7 × 19^8 का इकाई अंक निकालें। 4 पर समाप्त संख्या की विषम घात 4 पर समाप्त होती है। 9 पर समाप्त संख्या की सम घात 1 पर समाप्त होती है। इसलिए गुणनफल 4 × 1 = 4 पर समाप्त होगा।

आम गलतियाँ

आधार को घातांक से गुणा न करें। चक्र घातांक 1 से शुरू करें। घातांक का शेषफल लें, केवल उसका अंतिम अंक नहीं। अंतिम अंक जोड़ने या गुणा करने के बाद परिणाम का केवल इकाई अंक रखें।

अभ्यास प्रश्न

1. 3^14 का इकाई अंक निकालें।
2. 28^16 का इकाई अंक निकालें।
3. 17^5 + 24^6 का इकाई अंक निकालें।

उत्तर और व्याख्या

1. 3 का चक्र 3, 9, 7, 1 है। 14 को 4 से बाँटने पर शेषफल 2 है, इसलिए दूसरी प्रविष्टि 9 मिलेगी।
2. 8 के चक्र की लंबाई 4 है। 16 को 4 से बाँटने पर शेषफल 0 है, इसलिए चौथा अंक 6 चुनें।
3. पहली घात 7 पर समाप्त होती है, क्योंकि 5 को 4 से बाँटने पर शेषफल 1 है। दूसरी 6 पर समाप्त होती है, क्योंकि उसका घातांक सम है। योग का अंतिम अंक 7 + 6 = 13 का इकाई अंक, यानी 3 है।