जनसंख्या, आय, व्यय और कीमत के अनुप्रयोग

सीखने का उद्देश्य

जनसंख्या, आय, व्यय और कीमत के प्रश्नों में प्रतिशत लगाएँ। सही संदर्भ तथा गणना को उचित बनाने वाली शर्तें पहचानें।

सूत्रों को शर्तों से जोड़ें

जनसंख्या के मॉडल में हर अवधि की दर उसकी शुरुआती जनसंख्या पर लगती है, इसलिए दरों के गुणक गुणा करें। ये मान्यताएँ हैं, निश्चित भविष्यवाणी नहीं। अलग से बताए प्रवास या समायोजन भी शामिल करें।

बचत = आय − व्यय। समान समय-अवधि की राशियाँ लें। आय, व्यय और बचत के बदलावों में आधार उनकी अपनी मूल राशि है; यहाँ सभी धनात्मक हैं।

आय और व्यय के प्रतिशत न घटाएँ; उनके आधार अलग हैं। नई राशियों का अंतर लेकर नई बचत निकालें, फिर उसकी मूल बचत से तुलना करें।

बिना अतिरिक्त शुल्क वाली एक वस्तु के लिए व्यय = प्रति-इकाई कीमत × मात्रा। व्यय निश्चित हो तो कीमत के गुणक का व्युत्क्रम मात्रा का गुणक होता है। इसलिए p% मूल्य-वृद्धि में नई मात्रा = पुरानी मात्रा/(1 + p/100)।

निश्चित व्यय आवश्यक है; अन्यथा खरीदार मात्रा के बजाय बजट बदल सकता है।

उदाहरण 1

एक मॉडल में शुरू में 12,000 निवासी हैं और दो वर्षों में प्रत्येक वर्ष 5% वृद्धि मानी गई है। कोई अलग समायोजन नहीं है। अंतिम जनसंख्या निकालें।

पहले वर्ष के बाद: 12000 × 1.05 = 12600। दूसरे के बाद: 12600 × 1.05 = 13230। कुल वृद्धि 1230 है, इसलिए (1230/12000) × 100% = 10.25%।

उदाहरण 2

मासिक आय ₹42,000 और व्यय ₹31,500 है। आय 10% और व्यय 12% बढ़ता है। बचत का परिवर्तन निकालें।

मूल बचत = 42000 − 31500 = ₹10500। नई आय = 42000 × 1.10 = ₹46200; नया व्यय = 31500 × 1.12 = ₹35280। नई बचत = 46200 − 35280 = ₹10920। बचत ₹420 बढ़ी, इसलिए उसकी प्रतिशत वृद्धि (420/10500) × 100% = 4% है।

उदाहरण 3

खरीदार चावल पर ठीक ₹1,260 खर्च करता है। कीमत ₹35/kg से बढ़कर ₹42/kg होती है। समान व्यय पर मात्रा का बदलाव निकालें।

पुरानी मात्रा = 1260/35 = 36 kg; नई मात्रा = 1260/42 = 30 kg। मात्रा 6 kg घटी, अर्थात (6/36) × 100% = (50/3)% ≈ 16.67%। कीमत 20% बढ़ी, लेकिन मात्रा उतने प्रतिशत नहीं घटी।

सामान्य गलतियाँ

बचत के परिवर्तन में आय को आधार न लें। निश्चित व्यय व्युत्क्रम समानुपात का कारण है, केवल कीमत का बदलाव नहीं।

अभ्यास प्रश्न

1. 8,000 की जनसंख्या पहले 5% बढ़ती, फिर 2% घटती है; कोई अन्य बदलाव नहीं है। अंतिम जनसंख्या और कुल प्रतिशत परिवर्तन निकालें।
2. मासिक आय ₹32,000 है; व्यय आय का 62.5% है। व्यय और बचत निकालें।
3. मासिक आय ₹50,000 और व्यय ₹40,000 है। ये क्रमशः 8% और 5% बढ़ते हैं। नई बचत और उसका प्रतिशत परिवर्तन निकालें।
4. एक उत्पाद पर ठीक ₹1,440 खर्च होता है, जिसकी कीमत ₹60/kg से घटकर ₹48/kg होती है। दोनों मात्राएँ और मात्रा की प्रतिशत वृद्धि निकालें।

हल सहित उत्तर

1. जनसंख्याएँ 8000 × 1.05 = 8400, फिर 8400 × 0.98 = 8232 होती हैं। कुल वृद्धि (232/8000) × 100% = 2.9% है।
2. व्यय = 32000 × 0.625 = ₹20000। बचत शेष राशि है: 32000 − 20000 = ₹12000।
3. मूल बचत = 50000 − 40000 = ₹10000। नई आय = 50000 × 1.08 = ₹54000; व्यय = 40000 × 1.05 = ₹42000। नई बचत = 54000 − 42000 = ₹12000। वृद्धि (2000/10000) × 100% = 20% है।
4. मात्राएँ 1440/60 = 24 kg और 1440/48 = 30 kg हैं। वृद्धि (6/24) × 100% = 25% है; समान बजट इस व्युत्क्रम संबंध को तय करता है।