उचित, अनुचित, मिश्र और समतुल्य भिन्न

सीखने का लक्ष्य

भिन्नों के प्रकार पहचानना, अनुचित और मिश्र रूपों का परस्पर रूपांतरण करना तथा मान बदले बिना समतुल्य भिन्न बनाना।

भिन्नों के रूप समझें

भिन्न a/b का अर्थ a ÷ b है, जहाँ a और b पूर्णांक हैं तथा b अशून्य है। a अंश और b हर है। हर सामान्यतः धनात्मक लिखते हैं। अऋणात्मक (शून्य या धनात्मक) मात्राओं में हर किसी पूर्ण इकाई के बराबर हिस्से बताता है और अंश उन हिस्सों की संख्या गिनता है। अंश शून्य हो सकता है।

यहाँ अऋणात्मक भिन्नों में उचित भिन्न का अंश हर से छोटा है, इसलिए मान एक से कम है। अनुचित भिन्न का अंश हर से बड़ा या बराबर होता है, इसलिए उसका मान कम-से-कम एक पूर्ण इकाई है। बराबरी वाला मामला अनुचित श्रेणी में आता है।

मिश्र रूप में पूर्ण इकाइयों और अशून्य उचित भिन्न वाले शेष भाग को अलग लिखते हैं। शून्य शेष होने पर केवल पूर्णांक लिखें। संख्याएँ पास-पास रखने के बजाय जोड़ स्पष्ट लिखें, जैसे 2 + 3/5। ऋणात्मक मिश्र मान के लिए -(2 + 3/5) लिखें; ऋण चिह्न पूरी मात्रा पर लागू है, केवल पूर्णांक भाग पर नहीं।

समतुल्य भिन्नों का मान बिल्कुल समान होता है। अंश और हर को एक ही अशून्य गुणक से गुणा या भाग दें। भाग देते समय ऐसा साझा भाजक चुनें जिससे दोनों परिणाम पूर्णांक रहें। मान इसलिए नहीं बदलता क्योंकि अशून्य गुणक का स्वयं से भागफल 1 है।

सरलतम भिन्न के अंश और हर का 1 के अलावा कोई साझा धनात्मक भाजक नहीं होता। दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक से भाग देकर यह सरलतम रूप मिलता है।

हल किए हुए उदाहरण

उदाहरण 1: 11/4 का वर्गीकरण करके रूप बदलें।

यह अनुचित है क्योंकि 11, हर 4 से बड़ा है। भाग से 11 = 4 × 2 + 3 मिलता है: दो पूरे समूह और तीन हिस्से शेष। इसलिए 11/4 = 2 + 3/4। शेष भाग उचित भिन्न है।

उदाहरण 2: 3 + 2/7 को एक भिन्न में लिखें।

हर पूर्ण इकाई में सात सप्तमांश हैं, इसलिए पूर्णांक भाग से 3 × 7 = 21 सप्तमांश मिलते हैं। शेष दो जोड़ें: (21 + 2)/7 = 23/7। इसलिए 3 + 2/7 = 23/7।

उदाहरण 3: 18/30 को सरल करके दूसरा समतुल्य रूप बनाएँ।

महत्तम समापवर्तक 6 है। दोनों संख्याओं को भाग देने पर 18/30 = 3/5 मिलता है। अब दोनों को 4 से गुणा करें: 3/5 = 12/20। तीनों भिन्न समान मान रखते हैं, लेकिन केवल 3/5 सरलतम है।

सामान्य गलतियाँ

अंश और हर में समान संख्या जोड़ने से सामान्यतः मान सुरक्षित नहीं रहता। केवल एक को गुणा न करें। हर शून्य नहीं हो सकता। मिश्र रूप बदलते समय अंश जोड़ने से पहले पूर्णांक भाग को हर से गुणा करें।

अभ्यास प्रश्न

1. 0/7, 7/7 और 5/8 को उचित या अनुचित भिन्न बताएँ।
2. 29/6 को जोड़ स्पष्ट दिखाते हुए मिश्र रूप में लिखें।
3. 4 + 3/8 को एक भिन्न में बदलें।
4. 15/25 = ?/10 में ? की जगह आने वाला पूर्णांक और सरलतम रूप बताएँ।

व्याख्या सहित उत्तर

1. बताई गई परिभाषा के अनुसार 0/7 और 5/8 उचित हैं। 7/7 अनुचित है क्योंकि बराबर अंश और हर से एक पूरी इकाई मिलती है।
2. चूँकि 29 = 6 × 4 + 5, इसलिए 29/6 = 4 + 5/6।
3. पहले पूर्ण इकाइयाँ बदलें: (4 × 8 + 3)/8 = 35/8।
4. 5 से काटें: 15/25 = 3/5। दोनों संख्याओं को 2 से गुणा करें: 3/5 = 6/10। रिक्त पूर्णांक 6 है; सरलतम रूप 3/5 है।