दौड़ और वृत्ताकार ट्रैक

सीखने का परिणाम

दौड़ में जीत का अंतर और शुरुआती बढ़त समझें तथा वृत्ताकार ट्रैक पर मिलने को शुरुआती स्थान पर एक साथ लौटने से अलग पहचानें।

अवधारणाएँ और मान्यताएँ

धावकों को स्थिर धनात्मक चाल वाले बिंदु मानें; प्रतिक्रिया में देरी, त्वरण या ठहराव नहीं है। सीधी दौड़ में समापन रेखा साझा है; वृत्ताकार ट्रैक की परिधि C है।

शुरुआती बढ़त न हो तो दौड़ पूरी करने का समय = दौड़ की लंबाई ÷ चाल। मीटर में जीत का अंतर, विजेता के समाप्त करते समय धीमे धावक की बची हुई दूरी है।

दूरी की शुरुआती बढ़त में दोनों एक साथ निकलते हैं। समापन रेखा A के शुरुआती स्थान से R मीटर दूर हो और B उससे h मीटर आगे से शुरू करे तो उनकी दूरियाँ R और R - h हैं। समय की शुरुआती बढ़त का अर्थ उसी रेखा से पहले निकलना है।

वृत्त पर धावक एक ही बिंदु से साथ शुरू करें तो समय शून्य वाली मुलाकात को न गिनें। समान दिशा में तेज धावक को एक पूरा चक्कर अधिक तय करना होगा: शुरू होने के बाद पहली मुलाकात का समय = C ÷ चालों का अंतर। समान चाल वाले धावक साथ ही बने रहते हैं।

एक ही बिंदु से विपरीत दिशाओं में चलने पर उनकी संयुक्त दूरी पहली बार एक चक्कर के बराबर होती है: शुरू होने के बाद पहली मुलाकात का समय = C ÷ चालों का योग।

शुरुआती स्थान अलग हों तो वास्तविक अंतर लें। साझा दिशा में तेज धावक g मीटर पीछे से शुरू करे तो वह g ÷ चालों का अंतर समय में पकड़ता है, जहाँ 0 < g < C।

शुरुआती स्थान पर साथ लौटने के लिए दोनों के पूरे चक्कर होने चाहिए। एक चक्कर के समय पूर्ण सेकंडों में हों तो उनका लघुत्तम समापवर्त्य लें। किसी अन्य स्थान पर मिलना इसमें नहीं गिना जाता।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — जीत का अंतर। A और B बिना शुरुआती बढ़त के 360 m की दौड़ साथ शुरू करते हैं। चालें 9 m/s और 8 m/s हैं। A, 360/9 = 40 s में समाप्त करता है। B, 8 × 40 = 320 m तय करता है। अंतर = 360 - 320 = 40 m।

उदाहरण 2 — दूरी की शुरुआती बढ़त। A की समापन रेखा 600 m दूर है; B उसी समय 120 m आगे से शुरू करता है। A, 10 m/s से दौड़कर 600/10 = 60 s लेता है। साझा समापन रेखा पर साथ पहुँचने के लिए B को 60 s में 600 - 120 = 480 m तय करने हैं: आवश्यक चाल = 480/60 = 8 m/s।

उदाहरण 3 — मिलना और लौटना। धावक 420 m परिधि वाले वृत्त पर एक ही बिंदु से साथ शुरू करते हैं। उनकी चालें 7 m/s और 5 m/s हैं। समान दिशा में पहली मुलाकात = 420/(7 - 5) = 210 s। दूरियाँ 7 × 210 = 1470 m और 5 × 210 = 1050 m हैं। दोनों में पूरे चक्कर हटाने पर 210 m बचते हैं: यह शुरुआती स्थान नहीं है। अलग प्रयास में विपरीत दिशाओं पर पहली मुलाकात = 420/(7 + 5) = 35 s। एक चक्कर के समय = 420/7 = 60 s और 420/5 = 84 s हैं; उनका लघुत्तम समापवर्त्य 420 s, दोनों प्रयासों में पहली बार साथ लौटने का समय है।

आम गलतियाँ

दूरी और समय की शुरुआती बढ़त अलग पहचानें। बाद की मुलाकातों में शुरुआत में साथ होने को न गिनें। हर मुलाकात शुरुआती स्थान पर वापसी नहीं है।

अभ्यास प्रश्न

1. A और B बिना शुरुआती बढ़त के 500 m की दौड़ साथ शुरू करते हैं। चालें 10 m/s और 8.5 m/s हैं। A की जीत का अंतर निकालें।
2. A और B एक ही रेखा से 300 m दौड़ते हैं। चालें 6 m/s और 5 m/s हैं। साथ समाप्त करने के लिए B को कितने सेकंड पहले निकलना चाहिए?
3. 400 m परिधि वाले वृत्त पर धावक समान दिशा में साथ शुरू करते हैं: 7 m/s वाला धावक, 5 m/s वाले से 60 m पीछे है। पकड़ने का समय निकालें।
4. धावक 300 m परिधि वाले वृत्त पर एक ही बिंदु से साथ शुरू करते हैं। दोनों समान दिशा में 10 m/s और 6 m/s से चलते हैं। शुरू होने के बाद पहली मुलाकात और शुरुआती स्थान पर पहली बार साथ लौटने के समय निकालें।

हल सहित उत्तर

1. A का समय = 500/10 = 50 s। B, 8.5 × 50 = 425 m तय करता है। अंतर = 500 - 425 = 75 m।
2. A को 300/6 = 50 s और B को 300/5 = 60 s चाहिए। B को 60 - 50 = 10 s पहले निकलना चाहिए, 10 m आगे से नहीं।
3. अंतर घटने की चाल = 7 - 5 = 2 m/s। वास्तविक अंतर लें: समय = 60/2 = 30 s; पूरी परिधि का उपयोग न करें।
4. पहली मुलाकात = 300/(10 - 6) = 75 s। एक चक्कर के समय = 300/10 = 30 s और 300/6 = 50 s हैं; उनका लघुत्तम समापवर्त्य पहली बार साथ लौटने का समय = 150 s देता है।