संयुक्त आकृतियाँ, पथ और छायांकित क्षेत्र

सीखने का लक्ष्य

संयुक्त क्षेत्रों की गणना करना, भीतरी और बाहरी पथों में अंतर समझना तथा साझा क्षेत्रफल के लिए सही समायोजन करना।

अवधारणाएँ और मान्यताएँ

आदर्श आयाम, संगत इकाइयाँ और समान चौड़ाई वाले पथ लें। आयताकार पट्टियों के कोने समकोण वाले हैं।

जिन हिस्सों के क्षेत्र आपस में नहीं चढ़ते, उनके क्षेत्रफल जोड़ें; काटे गए हिस्सों को घटाएँ। यदि जोड़े गए हिस्से एक-दूसरे पर चढ़ते हों, तो उनका साझा क्षेत्रफल एक बार घटाएँ, ताकि वह दो बार न गिना जाए। बाहरी परिमाप में साझा आंतरिक किनारे शामिल नहीं होते।

w चौड़ाई की भीतरी पट्टी दोनों सामने वाली भुजाओं की ओर जगह लेती है, इसलिए बीच के आयत का प्रत्येक आयाम 2w कम होता है। मूल क्षेत्रफल में से बीच का क्षेत्रफल घटाएँ। 2w, दोनों मूल आयामों से छोटा होना चाहिए।

बाहरी पट्टी दोनों आयामों में 2w जोड़ती है। बढ़े हुए क्षेत्रफल में से मूल क्षेत्रफल घटाएँ। समान चौड़ाई की भीतरी और बाहरी पट्टियों के क्षेत्रफल बराबर होना आवश्यक नहीं है।

वृत्त संबंधी गणनाओं में pi = 22/7 का सन्निकट मान लें और आगे कोई सन्निकटन न करें।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — जुड़ी हुई आकृतियाँ। 20 m लंबाई और 14 m चौड़ाई वाले आयत की एक पूरी 14 m भुजा को व्यास बनाकर उसके बाहर अर्धवृत्त जोड़ें। क्षेत्रफल और बाहरी परिमाप निकालिए। pi = 22/7 लें; आगे कोई सन्निकटन न करें।

त्रिज्या = 14/2 = 7 m। क्षेत्रफल = 20 × 14 + (22/7) × 7²/2 = 280 + 77 = 357 m²। साझा व्यास को बाहरी सीमा में शामिल न करें। बाहरी परिमाप = 20 + 20 + 14 + (22/7) × 7 = 76 m।

उदाहरण 2 — पथ की दो योजनाएँ। 30 m लंबाई और 22 m चौड़ाई वाले आयताकार बगीचे के लिए अलग-अलग योजनाओं में 2 m चौड़ी भीतरी और बाहरी पट्टियों की तुलना कीजिए।

बगीचे का क्षेत्रफल = 30 × 22 = 660 m²। भीतरी योजना में बीच के आयाम = (30 − 4) और (22 − 4) = 26 m और 18 m। भीतरी पट्टी का क्षेत्रफल = 660 − 26 × 18 = 192 m²। बाहरी आयाम = (30 + 4) और (22 + 4) = 34 m और 26 m। बाहरी पट्टी का क्षेत्रफल = 34 × 26 − 660 = 224 m²।

उदाहरण 3 — एक-दूसरे को काटते पथ। 40 m लंबाई और 30 m चौड़ाई वाले पार्क के बीच में परस्पर लंबवत पथ हैं। एक पथ 2 m चौड़ा है और पूरी लंबाई में जाता है; दूसरा 3 m चौड़ा है और पूरी चौड़ाई में जाता है। पथों के बाहर बचा क्षेत्रफल निकालिए।

पथों के क्षेत्रफल = 40 × 2 = 80 m² और 30 × 3 = 90 m²। साझा क्षेत्रफल = 2 × 3 = 6 m²। पथों का कुल क्षेत्रफल = 80 + 90 − 6 = 164 m²। पथों के बाहर बचा क्षेत्रफल = 40 × 30 − 164 = 1,036 m²।

आम गलतियाँ

साझा किनारों को बाहरी परिमाप में गिनना; आयामों में केवल एक पट्टी की चौड़ाई का बदलाव करना; भीतरी और बाहरी पथों में भ्रम करना; एक-दूसरे को काटते पथों का साझा भाग दो बार घटाना।

अभ्यास प्रश्न

1. 18 cm चौड़े और 12 cm ऊँचे आयत के ऊपर-दाएँ कोने से 8 cm चौड़ा और 5 cm ऊँचा आयत हटा दिया जाता है। बचा क्षेत्रफल और परिमाप निकालिए।
2. 20 m लंबाई और 16 m चौड़ाई वाले बगीचे में 1.5 m चौड़ी भीतरी पट्टी का क्षेत्रफल निकालिए।
3. 24 m लंबाई और 18 m चौड़ाई वाले बगीचे के चारों ओर 1.5 m चौड़ी बाहरी पट्टी का क्षेत्रफल निकालिए।
4. 28 cm भुजा वाले वर्ग के केंद्र पर केंद्रित एक वृत्त उसकी चारों भुजाओं को छूता है। वृत्त के बाहर, लेकिन वर्ग के भीतर वाले छायांकित भाग का क्षेत्रफल निकालिए। pi = 22/7 लें; आगे कोई सन्निकटन न करें।

चरणबद्ध हल

1. क्षेत्रफल = 18 × 12 − 8 × 5 = 176 cm²। बची हुई बाहरी भुजाएँ: 12 − 5 = 7 cm और 18 − 8 = 10 cm। परिमाप = 18 + 7 + 8 + 5 + 10 + 12 = 60 cm।
2. बीच के आयाम = 20 − 3 = 17 m और 16 − 3 = 13 m। पट्टी का क्षेत्रफल = 20 × 16 − 17 × 13 = 99 m²।
3. बाहरी आयाम = 24 + 3 = 27 m और 18 + 3 = 21 m। पट्टी का क्षेत्रफल = 27 × 21 − 24 × 18 = 135 m²।
4. pi = 22/7 लेते हुए और आगे कोई सन्निकटन किए बिना, त्रिज्या = 28/2 = 14 cm। छायांकित क्षेत्रफल = 28² − (22/7) × 14² = 784 − 616 = 168 cm²।