पूर्ण वर्ग और वर्ग संख्याओं के सरल पैटर्न

सीखने का परिणाम

अऋणात्मक पूर्णांक वर्ग पहचानें, वर्गों के सरल पैटर्न इस्तेमाल करें और मुख्य वर्गमूल को किसी वर्ग-समीकरण के हलों से अलग समझें।

अवधारणाएँ और मान्यताएँ

पूर्ण वर्ग वह अऋणात्मक पूर्णांक है जिसे n² के रूप में लिखा जा सके, जहाँ n अऋणात्मक पूर्णांक है। शून्य और एक भी इसमें शामिल हैं। ऋणात्मक पूर्णांकों के वर्ग भी अऋणात्मक होते हैं, लेकिन कोई ऋणात्मक संख्या किसी वास्तविक संख्या का वर्ग नहीं हो सकती।

वास्तविक संख्या a ≥ 0 के लिए √a उसका अऋणात्मक मुख्य वर्गमूल है। a > 0 होने पर समीकरण x² = a के दो वास्तविक हल हैं: √a और -√a। a = 0 होने पर केवल x = 0 हल है। वर्गमूल का चिह्न स्वयं कभी “दोनों चिह्न” नहीं बताता।

1 से बड़े धनात्मक पूर्णांक के लिए अभाज्य गुणनखंडन निर्णायक जाँच देता है: वह पूर्ण वर्ग तभी है, जब हर अभाज्य गुणनखंड का घातांक सम हो। वर्ग करने से हर घातांक दोगुना होता है; उलटे, सम घातांकों को आधा करके पूर्णांक वर्गमूल बनाया जा सकता है। 0 और 1 को अलग संभालें।

किसी संख्या के वर्ग का इकाई अंक केवल मूल संख्या के इकाई अंक पर निर्भर है। 0–9 अंकों की जाँच से वर्ग के संभावित अंतिम अंक 0, 1, 4, 5, 6 और 9 मिलते हैं। यह शर्त आवश्यक है, पर्याप्त नहीं: मान्य अंतिम अंक से पूरी संख्या का पूर्ण वर्ग होना सिद्ध नहीं होता।

वितरण नियम से (n + 1)² = n² + 2n + 1 मिलता है। इसलिए क्रमागत वर्गों के अंतर क्रमागत विषम संख्याएँ होते हैं। 0 से शुरू करके 1, 3, 5, … जोड़ने से वर्गों का क्रम बनता है। अधिक सामान्य रूप में, (a + b)² = a² + 2ab + b²; बीच का पद नहीं छोड़ सकते।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — वर्गमूल और समीकरण। चूँकि 36² = (30 + 6)² = 900 + 360 + 36 = 1296, इसलिए √1296 = 36। लेकिन x² = 1296 के हल x = 36 और x = -36 हैं, क्योंकि दोनों संख्याओं का वर्ग 1296 है।

उदाहरण 2 — मान्य अंतिम अंक भी भ्रमित कर सकता है। क्या 794 को पूर्ण वर्ग मान लें, क्योंकि उसका अंतिम अंक 4 है? निकालें: 28² = 784 और 29² = 841। चूँकि 784 < 794 < 841, यह दो क्रमागत पूर्णांक वर्गों के बीच है, किसी के बराबर नहीं। इसलिए 794 पूर्ण वर्ग नहीं है।

उदाहरण 3 — अभाज्य गुणनखंडों के जोड़े पूरे करें। 1800 को पूर्ण वर्ग बनाने वाला सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक गुणक निकालें। गुणनखंडन से 1800 = 2³ × 3² × 5²। केवल 2 का घातांक विषम है, इसलिए 2 से गुणा करें। गुणनफल 2⁴ × 3² × 5² = 3600 = 60² है। हर मान्य गुणक में 2 होना जरूरी है; केवल उसे लेना सबसे छोटा चुनाव है।

आम गलतियाँ

√a को x² = a के हल निकालने से न मिलाएँ। मान्य अंतिम अंक केवल शुरुआती जाँच है। अभाज्य घातांकों की कसौटी पूरे गुणनखंडन पर लगाएँ, जिसमें हर अभाज्य गुणनखंड शामिल हो।

अभ्यास प्रश्न

1. √0 और √144 निकालें, फिर वास्तविक संख्याओं में x² = 144 हल करें।
2. 43² = 1849 दिया है। क्रमागत वर्गों का उपयोग करके 44² निकालें।
3. 756 को पूर्ण वर्ग बनाने वाला सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक गुणक निकालें।
4. 675 का सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक भाजक निकालें, जिससे भाग देने पर भागफल पूर्ण वर्ग पूर्णांक हो।

हल सहित उत्तर

1. √0 = 0 और √144 = 12। समीकरण के दो हल हैं: x = 12 और x = -12।
2. वृद्धि 2 × 43 + 1 = 87 है। इसलिए 44² = 1849 + 87 = 1936।
3. चूँकि 756 = 2² × 3³ × 7, विषम घातांकों के लिए गुणनखंड 3 और 7 चाहिए। सबसे छोटा गुणक 21 है; 756 × 21 = 15876 = 126²।
4. चूँकि 675 = 3³ × 5², 3 से भाग देने पर 3² × 5² = 225 = 15² मिलता है। बचे हुए सभी घातांक सम बनाने वाला सबसे छोटा भाजक 3 है।