त्रिभुजों का क्षेत्रफल और परिमाप

सीखने का लक्ष्य

त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने की उपयुक्त विधि चुनना, परिमाप अलग से निकालना और जाँचना कि दी गई भुजाओं से त्रिभुज बन सकता है या नहीं।

अवधारणाएँ और मान्यताएँ

आदर्श सटीक लंबाइयाँ और संगत इकाइयाँ लें तथा शून्य से अधिक क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों पर विचार करें। तीन धनात्मक भुजाओं से त्रिभुज तभी बनता है जब दो छोटी भुजाओं का योग सबसे बड़ी भुजा से अधिक हो। बराबरी होने पर बिंदु एक सीध में आ जाते हैं और क्षेत्रफल शून्य होता है।

त्रिभुज का परिमाप उसकी तीनों भुजाओं का योग है। क्षेत्रफल किसी आधार और उससे संबंधित लंबवत ऊँचाई पर निर्भर करता है। त्रिभुज की दो सर्वांगसम प्रतियों से उसी आधार और ऊँचाई वाला समांतर चतुर्भुज बनता है, इसलिए:

त्रिभुज का क्षेत्रफल = आधार × लंबवत ऊँचाई ÷ 2।

ऊँचाई, सामने वाले शीर्ष से आधार की रेखा तक की लंबवत दूरी है। अधिककोण त्रिभुज में लंब का पाद त्रिभुज के बाहर भी हो सकता है। कोई तिरछी भुजा अपने-आप ऊँचाई नहीं होती। केवल आधार और ऊँचाई से सामान्यतः परिमाप तय नहीं होता।

समकोण त्रिभुज में समकोण पर मिलने वाली दोनों लंबभुजाएँ आधार और ऊँचाई का मान्य जोड़ा हैं। कर्ण के लिए संबंध है: कर्ण² = पहली लंबभुजा² + दूसरी लंबभुजा²।

यदि त्रिभुज की तीन मान्य भुजाएँ a, b और c दी हों, तो हीरोन के सूत्र से बिना दी गई ऊँचाई के क्षेत्रफल निकाला जा सकता है। s = (a + b + c)/2 लें; क्षेत्रफल s(s − a)(s − b)(s − c) का वर्गमूल है।

a भुजा वाले समबाहु त्रिभुज में ऊँचाई आधार को दो बराबर भागों में बाँटती है। पाइथागोरस से ऊँचाई = a√3/2 और इसलिए क्षेत्रफल = a²√3/4 मिलता है। यहाँ वर्गमूलों को सटीक रूप में रखें; सन्निकट दशमलव मान लेने की आवश्यकता नहीं है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — आधार और ऊँचाई। एक त्रिभुज का आधार 14 cm और लंबवत ऊँचाई 9 cm है। उसका क्षेत्रफल निकालिए। क्या उसका परिमाप भी तय हो जाता है?

क्षेत्रफल = 14 × 9/2 = 63 cm²। दूसरी दोनों भुजाएँ अज्ञात हैं, इसलिए केवल इस जानकारी से परिमाप निर्धारित नहीं किया जा सकता।

उदाहरण 2 — समकोण त्रिभुज। दोनों लंबभुजाएँ 9 cm और 12 cm हैं। क्षेत्रफल और परिमाप निकालिए।

कर्ण² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225। कर्ण = 15 cm। क्षेत्रफल = 9 × 12/2 = 54 cm²। परिमाप = 9 + 12 + 15 = 36 cm।

उदाहरण 3 — तीन भुजाएँ। एक त्रिभुज की भुजाएँ 13 cm, 14 cm और 15 cm हैं। उसका क्षेत्रफल और 14 cm वाली भुजा पर ऊँचाई निकालिए।

भुजाओं की मान्यता की जाँच: 13 + 14 > 15। अर्धपरिमाप s = (13 + 14 + 15)/2 = 21 cm। क्षेत्रफल = √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84 cm²। चूँकि 84 = 14 × ऊँचाई/2 है, इसलिए ऊँचाई = 168/14 = 12 cm।

आम गलतियाँ

दो ऐसी भुजाओं को आधार और ऊँचाई लेना जो परस्पर लंबवत नहीं हैं; आधे परिमाप को क्षेत्रफल समझना; भुजाओं की मान्यता जाँचे बिना हीरोन का सूत्र लगाना; ऊँचाई को सीमा की भुजा मान लेना।

अभ्यास प्रश्न

1. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 72 cm² और आधार 18 cm है। उसकी लंबवत ऊँचाई निकालिए।
2. एक समकोण त्रिभुज की लंबभुजाएँ 5 m और 12 m हैं। क्षेत्रफल और परिमाप निकालिए।
3. एक त्रिभुज की भुजाएँ 10 cm, 10 cm और 12 cm हैं। क्षेत्रफल और परिमाप निकालिए।
4. एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 12 cm है। उसका परिमाप और सटीक क्षेत्रफल निकालिए।

चरणबद्ध हल

1. 72 = 18 × ऊँचाई/2 से, ऊँचाई = 144/18 = 8 cm।
2. कर्ण = √(25 + 144) = 13 m। क्षेत्रफल = 5 × 12/2 = 30 m²; परिमाप = 5 + 12 + 13 = 30 m।
3. भुजाएँ मान्य हैं, क्योंकि 10 + 10 > 12। परिमाप = 32 cm, इसलिए s = 16 cm। क्षेत्रफल = √(16 × 6 × 6 × 4) = √2304 = 48 cm²।
4. परिमाप = 3 × 12 = 36 cm। ऊँचाई = √(12² − 6²) = √108 = 6√3 cm। क्षेत्रफल = 12 × 6√3/2 = 36√3 cm², सटीक।