दशमलव संख्याओं का जोड़, घटाव, गुणा और भाग

सीखने का लक्ष्य

दशमलवों के साथ चारों संक्रियाएँ करना, दशमलव बिंदु की स्थिति का कारण समझना और उत्तर का परिमाण उचित है या नहीं, यह जाँचना।

संक्रियाओं को समझें

जोड़ और घटाव में समान स्थानीय मान वाली मात्राएँ मिलती हैं। दशमलव बिंदु एक सीध में रखें, ताकि दशांश के नीचे दशांश और शतांश के नीचे शतांश आए। आवश्यकता पर अंत में शून्य जोड़ें। हासिल और उधार इसलिए काम करते हैं क्योंकि प्रत्येक स्थान अगली छोटी इकाई के दस गुने के बराबर है।

गुणा में पहले चिह्नों का ध्यान रखते हुए पूर्णांकों की तरह गुणा करें। फिर दोनों गुणनखंडों के कुल दशमलव स्थान गिनें। दशमलव बिंदु हटाने से संख्याएँ दस की घातों से गुणा होती हैं; इसलिए गुणनफल को दोनों के संयुक्त गुणक से वापस भाग देना पड़ता है। दशमलव बिंदु लगाने तक शून्य सुरक्षित रखें।

भाग में भाजक अशून्य होना चाहिए। भाज्य और भाजक, दोनों को दस की समान घात से गुणा करें, जब तक भाजक पूर्णांक न बन जाए। दोनों को समान रूप से बढ़ाने से भागफल नहीं बदलता। लंबी भाग विधि में अधिक अंक निकालने के लिए भाज्य के दशमलव भाग के अंत में शून्य जोड़ें।

उलटी संक्रिया से जाँच उपयोगी है। गुणनफल को किसी अशून्य गुणनखंड से भाग देने पर दूसरा गुणनखंड मिलना चाहिए; भागफल और भाजक का गुणा भाज्य देना चाहिए। व्यंजकों में कोष्ठकों और संक्रियाओं का सामान्य प्राथमिकता क्रम बनाए रखें।

हल किए हुए उदाहरण

उदाहरण 1: 12.6 + 3.85 - 0.47 की गणना करें।

स्थानीय मान मिलाएँ: 12.60 + 3.85 = 16.45। फिर 16.45 - 0.47 = 15.98। उधार लेने से कुल मात्रा बदले बिना शतांश का घटाव संभव होता है। जाँच: 15.98 + 0.47 = 16.45।

उदाहरण 2: 0.48 × 0.35 की गणना करें।

पूर्ण संख्याओं का गुणा है: 48 × 35 = 1680। दोनों गुणनखंडों में कुल चार दशमलव स्थान हैं, इसलिए 10000 से भाग दें: 0.1680 = 0.168। किसी धनात्मक संख्या को एक से छोटी धनात्मक संख्या से गुणा करने पर उसका मान घटता है, इसलिए उत्तर का परिमाण उचित है।

उदाहरण 3: 7.56 ÷ 0.24 की गणना करें।

दोनों संख्याओं को 100 से गुणा करें: 756 ÷ 24। चूँकि 24 × 31 = 744, शेषफल 12 है। दशमलव के बाद भाग जारी रखें: 120 ÷ 24 = 5; यही दशांश का अंक है। इसलिए भागफल 31.5 है। जाँच: 31.5 × 0.24 = 7.56।

सामान्य गलतियाँ

जोड़ में अंतिम अंकों के बजाय दशमलव बिंदु मिलाएँ। गुणनफल में दशमलव बिंदु लगाने के लिए जोड़ वाला नियम न अपनाएँ। भाग में केवल एक संख्या को बढ़ाने से उत्तर बदल जाता है। शून्य से भाग अपरिभाषित है।

अभ्यास प्रश्न

1. 8.07 + 0.9 - 2.365 की गणना करें।
2. 2.4 × 0.065 की गणना करें।
3. 0.864 ÷ 0.12 की गणना करें।
4. 3.6 ÷ (0.4 + 0.5) + 0.25 × 0.8 की गणना करें।

व्याख्या सहित उत्तर

1. तीन दशमलव स्थान लें: 8.070 + 0.900 = 8.970। फिर 8.970 - 2.365 = 6.605।
2. चूँकि 24 × 65 = 1560, चार दशमलव स्थान लगाने पर 0.1560 = 0.156 मिलता है।
3. दोनों संख्याओं को 100 से गुणा करें: 86.4 ÷ 12 = 7.2। जाँच: 7.2 × 0.12 = 0.864।
4. कोष्ठक से 0.9 मिलता है। फिर 3.6 ÷ 0.9 = 4 और 0.25 × 0.8 = 0.2। अंत में 4 + 0.2 = 4.2। ये परिणाम सटीक हैं; कहीं पूर्णांकन नहीं किया गया है।