विभाज्यता के नियम और लुप्त अंक
सीखने का परिणाम
पूरा भाग दिए बिना नौ विभाज्यता-जाँचें लागू करें और लुप्त अंक के सभी मान्य मान खोजें।
नियम और उनके कारण
विभाज्यता का अर्थ शेषफल 0 है। 2 के लिए अंतिम अंक 0, 2, 4, 6 या 8 हो; 5 के लिए 0 या 5; 10 के लिए 0 हो। बाकी भाग 10 का गुणज है।
4 के लिए अंतिम दो अंकों से बनी संख्या जाँचें; 8 के लिए अंतिम तीन से। बाकी भाग 100 या 1000 का गुणज है, जो क्रमशः 4 या 8 से विभाज्य है। छोटी संख्या में पूरी संख्या जाँचें।
3 या 9 के लिए अंक-योग जाँचें। स्थानीय मान 1, 10, 100, … दोनों भाजकों के लिए शेषफल 1 देते हैं, इसलिए संख्या और अंक-योग का अंतर उसी भाजक का गुणज है। 9 से विभाज्यता का अर्थ 3 से विभाज्यता है, लेकिन उलटा सही नहीं।
6 के लिए 2 और 3 की दोनों जाँचें सफल हों। 3 के सम गुणज में दूसरा गुणनखंड सम होगा, इसलिए वह 6 से विभाज्य है।
11 के लिए बाएँ से स्थान 1, 3, … के अंकों के योग में से स्थान 2, 4, … का योग घटाएँ। 0 तथा 11 के धनात्मक या ऋणात्मक गुणज मान्य हैं। स्थानीय मान 1, 10, 100, 1000, … बारी-बारी से 11 के गुणजों से एक अधिक या कम हैं।
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1. 73512 को 6 और 8 के लिए जाँचें। यह सम है और अंक-योग 18 है, इसलिए 6 से विभाज्य है। अंतिम हिस्सा 512 = 8 × 64 होने से 8 से भी विभाज्य है।
उदाहरण 2. 4x32 में x एक अंक है। 9 से विभाज्यता के लिए योग 9 + x, 9 या 18 हो, क्योंकि 0 ≤ x ≤ 9। इसलिए x = 0 या 9।
उदाहरण 3. 1837 में बारी-बारी के योगों का अंतर (1 + 3) - (8 + 7) = -11 है। इसलिए 1837, 11 से विभाज्य है।
आम गलतियाँ
शून्य अपने स्थान पर रखें। बहुअंकीय संख्या का पहला अंक 0 नहीं हो सकता। केवल 2 या केवल 3 की जाँच से 6 की विभाज्यता सिद्ध नहीं होती।
अभ्यास प्रश्न
- 6420 किन जाँचों में सफल है: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11?
- 52x को 4 से विभाज्य बनाने वाले सभी अंक x खोजें।
- 4x73 को 11 से विभाज्य बनाने वाला अंक x खोजें।
उत्तर और व्याख्या
- उत्तर: 2, 3, 4, 5, 6, 10। अंतिम 0 से 2, 5, 10 की विभाज्यता मिलती है। योग 12 से 3 की; सम भी होने से 6 की जाँच सफल है। अंतिम 20 से 4 की जाँच सफल है। लेकिन 420 से 8, योग 12 से 9 और बारी-बारी के अंतर 4 से 11 की जाँच असफल है।
- अंतिम दो अंक 20 + x बनाते हैं। 20 से 29 में 4 के गुणज 20, 24, 28 हैं, इसलिए x = 0, 4, 8।
- अंतर 8 - x की सीमा -1 से 8 है। केवल 0 मान्य है, इसलिए x = 8।
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