गुणनखंड और गुणज

सीखने का परिणाम

बिना छोड़े गुणनखंड लिखें, गुणज बनाएँ और साझा गुणनखंड तथा साझा धनात्मक गुणज पहचानें।

अवधारणाएँ और उनके कारण

धनात्मक पूर्णांकों में a, संख्या n का गुणनखंड या भाजक है जब किसी धनात्मक पूर्णांक b के लिए n = a × b हो। यही संबंध बताता है कि n, संख्या a का गुणज है। दोनों शब्द पूर्ण विभाजन के एक ही संबंध की उलटी दिशाएँ बताते हैं।

हर धनात्मक पूर्णांक के गुणनखंड 1 और स्वयं संख्या हैं। उसके धनात्मक गुणनखंड सीमित हैं, क्योंकि कोई उससे बड़ा नहीं होता। उसके धनात्मक गुणज n, 2n, 3n, … बिना अंत चलते हैं।

शून्य भी हर धनात्मक पूर्णांक का गुणज है, क्योंकि 0 = n × 0; लेकिन धनात्मक गुणज पूछे जाने पर उसे नहीं लेते। शून्य भाजक नहीं हो सकता; शून्य से भाग अपरिभाषित है।

गुणनखंड जोड़ियों में खोजें। जब a, संख्या n को विभाजित करे, तो उसका साथी n/a है। a × a > n होने तक संभावित भाजक जाँचें, क्योंकि बाद वाले साथी पहले मिल चुके होंगे। पूर्ण वर्ग में वर्गमूल की जोड़ी एक ही गुणनखंड दोहराती है; उसे एक बार लिखें।

साझा गुणनखंड समूह की हर संख्या को विभाजित करते हैं। सबसे बड़ा महत्तम समापवर्तक या HCF है। साझा गुणज समूह की हर संख्या के गुणज हैं। सबसे छोटा धनात्मक साझा गुणज लघुत्तम समापवर्त्य या LCM है। “धनात्मक” महत्वपूर्ण है: इस परिपाटी में शून्य LCM नहीं है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1. 28 की गुणनखंड जोड़ियाँ 1 × 28, 2 × 14 और 4 × 7 हैं। धनात्मक गुणनखंड 1, 2, 4, 7, 14, 28 हैं। 3 और 5 नहीं बाँटते; 6 × 6 पहले ही 28 से बड़ा है।

उदाहरण 2. 18 के गुणनखंड 1, 2, 3, 6, 9, 18 हैं। 24 के 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 हैं। साझा गुणनखंड 1, 2, 3, 6 हैं, इसलिए HCF = 6।

उदाहरण 3. 4 के धनात्मक गुणज 4, 8, 12 से शुरू होते हैं; 6 के 6, 12 से। पहला साझा मान 12 है, इसलिए LCM = 12।

आम गलतियाँ

गुणनखंड और गुणज आपस में न बदलें। संख्या स्वयं अपना गुणनखंड और गुणज दोनों है। वर्गमूल वाले गुणनखंड को दो बार न गिनें और धनात्मक गुणजों में शून्य न रखें।

अभ्यास प्रश्न

1. 36 के सभी धनात्मक गुणनखंड लिखें।
2. 7 के पहले चार धनात्मक गुणज लिखें।
3. 8 और 12 का HCF और LCM निकालें।

उत्तर और व्याख्या

1. जोड़ियाँ 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9 और 6 × 6 हैं। अलग-अलग गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 हैं।
2. ये 7, 14, 21, 28 हैं, जो 7 को 1, 2, 3, 4 से गुणा करने पर मिलते हैं।
3. साझा गुणनखंड 1, 2, 4 हैं, इसलिए HCF = 4। गुणज सूचियाँ 8, 16, 24 और 12, 24 से शुरू होती हैं, इसलिए LCM = 24।