अनुपात लिखना, सरल करना और तुलना करना

सीखने का उद्देश्य

अनुपात सही क्रम में लिखना, पूर्ण-संख्या, दशमलव और भिन्न वाले अनुपात सरल करना तथा बिना सन्निकटन उनकी तुलना करना सीखें।

अनुपात को समझें

अनुपात राशियों की आपसी तुलना बताता है, उनका अंतर नहीं। इस पूरे मॉड्यूल में सभी राशियाँ धनात्मक हैं। a:b का अर्थ “a की तुलना b से” है और इसे a/b के रूप में समझ सकते हैं। क्रम उलटने पर तुलना का आधार बदल जाता है।

एक ही प्रकार की राशियों की तुलना करने से पहले दोनों मापों को समान इकाई में बदलें। अन्यथा अलग-अलग माप-पैमानों की संख्याएँ मिल जाती हैं। इकाइयाँ समान होने पर भागफल में कट जाती हैं।

दोनों पदों को समान धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर साझा गुणनखंड कटता है, इसलिए अनुपात नहीं बदलता। पूर्ण-संख्या पदों को उनके महत्तम समापवर्तक से भाग दें। सांत दशमलवों या भिन्नों में पहले दोनों पदों को गुणा करके दशमलव या हर हटाएँ; फिर पूर्ण संख्याएँ सरल करें। दोनों से समान संख्या घटाने पर सामान्यतः अनुपात नहीं बचता।

a:b और c:d की तुलना के लिए a × d तथा c × b की तुलना करें। a/b और c/d को समान धनात्मक संख्या b × d से गुणा करने पर छोटा-बड़ा क्रम नहीं बदलता। तिर्यक गुणनफल बराबर हों तो अनुपात बराबर हैं। यह सटीक तुलना है, इसलिए दशमलव-सन्निकटन की त्रुटि नहीं आती।

केवल अनुपात से वास्तविक राशियाँ नहीं मिलतीं। प्रत्येक का वास्तविक मान निकालने के लिए कुल राशि या कोई अन्य माप चाहिए।

उदाहरण 1

दो फीते 1.8 m और 75 cm लंबे हैं। पहले:दूसरे का अनुपात निकालें।

1.8 m को 180 cm में बदलें। अनुपात 180:75 है। दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक 15 से भाग देने पर 12:5 मिलता है। अर्थात दूसरे फीते के हर 5 समान हिस्सों के लिए पहले में वैसे ही 12 हिस्से हैं। सीधे 1.8 और 75 की तुलना करना इकाइयों की अनदेखी होगी।

उदाहरण 2

(3/4):(5/6) को सरल करें।

दोनों पदों को हरों के एक साझा गुणज 12 से गुणा करें: (3/4) × 12 = 9 और (5/6) × 12 = 10। इसलिए अनुपात 9:10 है। एक ही गुणक लगाने से तुलना बदले बिना दोनों हर हट जाते हैं। इसका आगे पूर्ण-संख्या सरलीकरण संभव नहीं।

उदाहरण 3

7:10 और 9:13 की तुलना करें।

तिर्यक गुणनफल 7 × 13 = 91 और 9 × 10 = 90 हैं। चूँकि 91 > 90, इसलिए 7:10 बड़ा अनुपात है। यहाँ पहली राशि की दूसरी से तुलना है, अनुपातों से जुड़ी अज्ञात कुल राशियों की नहीं।

सामान्य गलतियाँ

माँगा गया क्रम न उलटें, अलग इकाइयों की सीधी तुलना न करें और केवल एक पद को सरल न करें। केवल बड़ा अंश अनुपात बड़ा नहीं बनाता। a:b में b तुलना की राशि है, दोनों का कुल नहीं।

अभ्यास प्रश्न

1. 2.4 kg:900 g को सबसे सरल रूप में लिखें।
2. 0.45:1.2 को सरल करें।
3. (5/8):(15/16) को सरल करें।
4. कौन-सा अनुपात बड़ा है: 11:15 या 14:19?

हल सहित उत्तर

1. 2.4 kg को 2400 g में बदलें। फिर 2400:900 के दोनों पदों को 300 से भाग देने पर 8:3 मिलता है।
2. दोनों पदों को 100 से गुणा करके 45:120 पाएँ। दोनों को 15 से भाग देने पर 3:8 मिलता है।
3. दोनों पदों को 16 से गुणा करने पर 10:15 मिलता है। दोनों को 5 से भाग देने पर 2:3 मिलता है।
4. 11 × 19 = 209 और 14 × 15 = 210 की तुलना करें। चूँकि 209 < 210, इसलिए बड़ा अनुपात 14:19 है।