चिह्नयुक्त पूर्णांकों पर संक्रियाएँ

सीखने का परिणाम

धनात्मक और ऋणात्मक पूर्णांकों की गणना करें, ऋण चिह्न के अलग उपयोग पहचानें और चिह्नों के नियमों का कारण समझाएँ।

अवधारणाएँ और उनके कारण

पूर्णांकों में शून्य, धनात्मक पूर्ण संख्याएँ और उनके ऋणात्मक रूप आते हैं। उनके चिह्न शून्य के सापेक्ष स्थिति बताते हैं। संख्या का परिमाण उसकी शून्य से दूरी है, जिसमें दिशा नहीं देखी जाती।

ऋण चिह्न के अलग काम हैं। -7 में यह एकल ऋण चिह्न है: यह एक संख्या पर लागू होता है। 12 - 7 में यह घटाव है, यानी दो संख्याओं के बीच की संक्रिया। (-7) के कोष्ठक ऋणात्मक संख्या को एक साथ रखते हैं; वे नया घटाव नहीं बनाते।

संख्या रेखा पर धनात्मक पूर्णांक जोड़ने से दाएँ और ऋणात्मक जोड़ने से बाएँ बढ़ते हैं। समान चिह्न हों तो परिमाण जोड़कर वही चिह्न रखें। अलग चिह्न हों तो बड़े परिमाण से छोटा घटाएँ और बड़े परिमाण का चिह्न रखें। बराबर परिमाण वाली विपरीत संख्याएँ जोड़ने पर शून्य मिलता है।

घटाने का अर्थ विपरीत संख्या जोड़ना है: a - b = a + (-b)। ऋणात्मक परिवर्तन हटाने से उसका प्रभाव उलटता है, इसलिए ऋणात्मक संख्या घटाने से परिणाम बढ़ता है। पास-पास के दो ऋण चिह्नों की भूमिका पहचाने बिना उन्हें एक जैसा न मानें।

धनात्मक पूर्णांक से गुणा बार-बार जोड़ना है। एक गुणनखंड का चिह्न उलटने से गुणनफल का चिह्न उलटता है: a × [b + (-b)] = 0, इसलिए a × b और a × (-b) विपरीत होने चाहिए। दोनों चिह्न उलटने पर मूल गुणनफल मिलता है। अतः अशून्य गुणनखंडों में समान चिह्न धनात्मक और अलग चिह्न ऋणात्मक गुणनफल देते हैं।

भाग, गुणा की उलटी संक्रिया है, इसलिए अशून्य भागफल पर वही चिह्न-नियम लागू है। यहाँ भाग के अभ्यासों में भागफल पूर्णांक हैं; पूर्णांकों का भागफल हमेशा पूर्णांक नहीं होता।

शून्य से किसी पूर्णांक का गुणा शून्य है; शून्य को अशून्य पूर्णांक से बाँटने पर भी शून्य मिलता है। शून्य से भाग अपरिभाषित है। शून्य से गुणा करके अशून्य भाज्य नहीं मिल सकता; 0 ÷ 0 में हर संभावित भागफल गुणा की जाँच पूरी करेगा, इसलिए एक निश्चित उत्तर नहीं मिलता।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — अलग चिह्न। (-8) + 13 निकालें। धनात्मक परिमाण बड़ा है: 13 - 8 = 5। इसलिए (-8) + 13 = 5।

उदाहरण 2 — ऋणात्मक संख्या घटाना। 6 - (-11) निकालें। घटाव को विपरीत संख्या के जोड़ में बदलें: 6 + 11 = 17। कोष्ठक बताते हैं कि पूरी संख्या -11 घटाई जा रही है।

उदाहरण 3 — गुणनफल के बाद भाग। [(-7) × (-6)] ÷ (-3) निकालें। समान चिह्नों से गुणनफल 42 मिलता है। फिर 42 ÷ (-3) = -14, क्योंकि चिह्न अलग हैं। जाँच: (-14) × (-3) = 42।

आम गलतियाँ

जोड़ में गुणा का चिह्न-नियम न लगाएँ। चिह्नयुक्त संख्या पहचानने से पहले कोष्ठक न हटाएँ। शून्य न धनात्मक है, न ऋणात्मक; अपरिभाषित भाग का उत्तर शून्य नहीं है।

अभ्यास प्रश्न

1. (-17) + 9 निकालें।
2. (-6) - (-14) निकालें।
3. [(-8) × (-9)] ÷ (-6) निकालें।
4. एक लिफ्ट स्तर -3 से शुरू होती है; भूतल का स्तर 0 है। वह 8 स्तर ऊपर, फिर 6 स्तर नीचे जाती है। किस स्तर पर रुकेगी?

उत्तर और व्याख्या

1. -8। ऋणात्मक परिमाण बड़ा है। परिमाण घटाएँ: 17 - 9 = 8, फिर ऋण चिह्न रखें।
2. 8। -14 घटाने का अर्थ 14 जोड़ना है: (-6) + 14 = 8।
3. -12। पहले (-8) × (-9) = 72। फिर 72 ÷ (-6) = -12। गुणा से जाँच: (-12) × (-6) = 72।
4. स्तर -1। ऊपर जाने पर स्तर (-3) + 8 = 5 है। नीचे जाने पर 5 - 6 = -1, यानी भूतल से एक स्तर नीचे।