घन और घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

सीखने का परिणाम

बंद ठोस या खुले पात्र के लिए सही फलकों और मापों का चुनाव करके घन तथा घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन निकालें।

अवधारणाएँ और मान्यताएँ

पृष्ठीय क्षेत्रफल सीमा का माप है और वर्ग इकाइयों में व्यक्त होता है; आयतन घिरे हुए स्थान का माप है और घन इकाइयों में व्यक्त होता है। दिए माप सटीक मानें। पात्रों की दीवारों की मोटाई नगण्य है और क्षमता निकालने में भीतरी माप लिए जाते हैं।

घनाभ का आयताकार आधार l लंबाई तथा b चौड़ाई वाला और लंबवत ऊँचाई h मानें। प्रत्येक क्षैतिज परत का क्षेत्रफल l × b है। ऐसी परतों को h ऊँचाई तक रखने से V = l × b × h मिलता है।

विपरीत फलक तीन बराबर जोड़ियाँ बनाते हैं, इसलिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल, TSA = 2 × (l × b + b × h + h × l)। पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल, LSA = 2 × h × (l + b), में चार दीवारें शामिल हैं, लेकिन दोनों निर्धारित आधार नहीं।

a किनारे वाले घन के लिए V = a³, TSA = 6 × a² और LSA = 4 × a²।

ऊपर से खुले घनाभाकार पात्र में एक आधार और चार दीवारें हैं: क्षेत्रफल = l × b + 2 × h × (l + b)। इसमें हर दीवार की एक बताई गई सतह गिनी जाती है, अंदर और बाहर दोनों नहीं। खुले या अनावृत क्षेत्रफल में केवल बिना ढकी या प्रश्न में माँगी गई सतहें गिनी जाती हैं।

1 L = 1000 cm³ लें। गुणा करने से पहले लंबाइयाँ एक-दूसरे के अनुकूल इकाइयों में बदलें। यहाँ पूर्णांकन की जरूरत नहीं है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — घन। एक ठोस घन का किनारा 5 cm है। प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल 5 × 5 = 25 cm² है। LSA = 4 × 25 = 100 cm²; TSA = 6 × 25 = 150 cm²। आयतन = 5 × 5 × 5 = 125 cm³।

उदाहरण 2 — घनाभ। एक ठोस घनाभ की लंबाई 18 cm, चौड़ाई 11 cm और ऊँचाई 7 cm है। अलग-अलग प्रकार के फलकों के क्षेत्रफल 198, 77 और 126 cm² हैं। TSA = 2 × (198 + 77 + 126) = 802 cm²। आयतन = 18 × 11 × 7 = 1386 cm³।

उदाहरण 3 — खुली टंकी। ऊपर से खुली टंकी के भीतरी माप 60 cm × 35 cm और ऊँचाई 40 cm हैं। केवल भीतरी आधार और चार भीतरी दीवारों पर लेप करना है। क्षेत्रफल = 60 × 35 + 2 × 40 × (60 + 35) = 2100 + 7600 = 9700 cm²। किनारे तक भरी टंकी की क्षमता = 60 × 35 × 40 = 84000 cm³ = 84 L।

आम गलतियाँ

जो ऊपरी फलक है ही नहीं, उसे न जोड़ें। न माँगी गई सतहें न गिनें और भीतरी क्षमता के लिए बाहरी माप न लें। क्षेत्रफल और आयतन की इकाइयाँ तथा रूपांतरण गुणक अलग हैं।

अभ्यास प्रश्न

1. एक घन का किनारा 7 cm है। उसका पार्श्व क्षेत्रफल, कुल क्षेत्रफल और आयतन निकालें।
2. एक घनाभ के माप 16 cm × 9 cm × 5 cm हैं। कुल क्षेत्रफल और आयतन निकालें।
3. ऊपर से खुली टंकी की भीतरी लंबाई 50 cm, चौड़ाई 32 cm और ऊँचाई 25 cm है। भीतरी आधार तथा दीवारों का क्षेत्रफल और क्षमता निकालें।
4. एक घनाभ का आधार 12 cm × 8 cm और आयतन 960 cm³ है। उसकी लंबवत ऊँचाई और पार्श्व क्षेत्रफल निकालें।

हल सहित उत्तर

1. LSA = 4 × 7² = 196 cm²; TSA = 6 × 7² = 294 cm²। आयतन = 7³ = 343 cm³।
2. TSA = 2 × (144 + 45 + 80) = 538 cm²। आयतन = 16 × 9 × 5 = 720 cm³।
3. क्षेत्रफल = 50 × 32 + 2 × 25 × (50 + 32) = 1600 + 4100 = 5700 cm²। क्षमता = 50 × 32 × 25 = 40000 cm³ = 40 L।
4. आधार का क्षेत्रफल = 12 × 8 = 96 cm²। ऊँचाई = 960 ÷ 96 = 10 cm। LSA = 2 × 10 × (12 + 8) = 400 cm²।