सापेक्ष चाल और मिलना या आगे निकलना

सीखने का परिणाम

सही मापे गए शुरुआती अंतर, दिशा और सापेक्ष चाल से मिलने या पीछे वाले के आगे वाले को पकड़ने का समय निकालें।

अवधारणाएँ और मान्यताएँ

सापेक्ष चाल बताती है कि दो स्थानों के बीच का अंतर कितनी तेजी से बदलता है। यात्रियों को एक सीधे मार्ग पर चलते बिंदु मानें। आवश्यक घटना होने तक उनकी बताई चालें और दिशाएँ स्थिर हैं; कोई ठहराव या त्वरण नहीं है।

यात्री एक-दूसरे की ओर आएँ तो दोनों अंतर घटाते हैं। पास आने की चाल = u + v, इसलिए मिलने का समय = शुरुआती अंतर ÷ (u + v)। केवल विपरीत दिशाएँ होना मिलने की गारंटी नहीं है: एक-दूसरे से दूर जाने पर अंतर बढ़ता है।

तेज यात्री किसी धीमे यात्री के पीछे चले तो प्रत्येक समय-इकाई में वह केवल चालों के अंतर जितनी बढ़त प्राप्त करता है:

अंतर घटने की चाल = तेज चाल - धीमी चाल।

पकड़ने का समय = शुरुआती अंतर ÷ अंतर घटने की चाल।

इसके लिए शुरुआती अंतर और उसे घटाने की चाल दोनों धनात्मक हों। बराबर चालों पर अंतर अपरिवर्तित रहता है; पीछे वाला धीमा हो तो और पीछे रह जाता है। परिस्थितियाँ वही रहें तो इन दोनों स्थितियों में वह आगे वाले को नहीं पकड़ता।

अंतर उस समय मापें जब दोनों की स्थितियाँ एक ही घड़ी के अनुसार देखी जा रही हों। देर से प्रस्थान होने पर पहले निकलने वाले की शुरुआती बढ़त निकालें। इसके बाद पकड़ने का समय बाद वाले के प्रस्थान से गिना जाता है, जब तक प्रश्न कुछ और न पूछे।

हर व्यक्ति की दूरी अब भी उसकी अपनी चाल × समय है। सापेक्ष चाल अंतर के बदलाव को बताती है, किसी एक व्यक्ति की तय दूरी को नहीं। इकाइयाँ अनुकूल रखें।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — एक-दूसरे की ओर आना। दो यात्री 231 km दूर स्थित बिंदुओं से एक साथ निकलते हैं। वे 42 km/h और 35 km/h से एक-दूसरे की ओर आते हैं। पास आने की चाल = 42 + 35 = 77 km/h। मिलने का समय = 231 ÷ 77 = 3 h।

उदाहरण 2 — आगे वाले को पकड़ना। 1.5 m/s से चलता व्यक्ति, 4.5 m/s से दौड़ते धावक से 720 m आगे है। दोनों समान दिशा में हैं। अंतर घटने की चाल = 4.5 - 1.5 = 3 m/s। समय = 720 ÷ 3 = 240 s = 4 min। जाँच: धावक की दूरी = 4.5 × 240 = 1080 m; पैदल व्यक्ति की दूरी = 1.5 × 240 = 360 m; 720 + 360 = 1080।

उदाहरण 3 — देर से प्रस्थान। एक साइकिल चालक P से 16 km/h पर निकलता है; दूसरा P से 45 मिनट बाद 24 km/h पर उसके पीछे चलता है। बढ़त = 16 × 45/60 = 12 km। अंतर घटने की चाल = 24 - 16 = 8 km/h। दूसरे के प्रस्थान से समय = 12/8 = 1.5 h। स्थान = P से 24 × 1.5 = 36 km दूर। जाँच: पहला 0.75 + 1.5 = 2.25 h चलता है और 16 × 2.25 = 36 km तय करता है।

आम गलतियाँ

आगे वाला चलता रहे तो अंतर को केवल पीछे वाले की चाल से न बाँटें। शुरुआती बढ़त शामिल करें और पहचानें कि समय गिनना किस क्षण से शुरू है।

अभ्यास प्रश्न

1. यात्री 192 km की दूरी से एक साथ चलना शुरू करते हैं और 54 km/h तथा 42 km/h से एक-दूसरे की ओर आते हैं। मिलने का समय निकालें।
2. 5 m/s का धावक, 8 m/s से पीछा करते धावक से 150 m आगे है। दोनों समान दिशा में हैं। पकड़ने का समय निकालें।
3. एक ट्रक 45 km/h पर निकलता है; दूसरा उसी बिंदु से 30 मिनट बाद उसी मार्ग पर 60 km/h से उसके पीछे चलता है। दूसरे के प्रस्थान से पकड़ने का समय और स्थान निकालें।
4. दो धावक समान दिशा में 6 m/s की चाल से चलते हैं; एक 300 m पीछे है। पीछे वाला कब पकड़ पाएगा?

हल सहित उत्तर

1. पास आने की चाल = 54 + 42 = 96 km/h। समय = 192 ÷ 96 = 2 h। 108 km और 84 km की दूरियाँ शुरुआती दूरी की पुष्टि करती हैं।
2. अंतर घटने की चाल = 8 - 5 = 3 m/s। समय = 150 ÷ 3 = 50 s। पीछा करने वाला 400 m तय करता है; आगे वाला 250 m चलता है और उसकी शुरुआती बढ़त 150 m है।
3. बढ़त = 45 × 30/60 = 22.5 km। सापेक्ष चाल = 15 km/h, इसलिए समय 22.5 ÷ 15 = 1.5 h है। स्थान = साझा शुरुआती बिंदु से 60 × 1.5 = 90 km दूर।
4. सापेक्ष चाल = 6 - 6 = 0 m/s। 300 m का अंतर नहीं बदलता, इसलिए पीछे वाला पकड़ नहीं पाएगा। शून्य से भाग देकर पकड़ने का समय नहीं निकाला जा सकता।