गोलों और अर्धगोलों का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

सीखने का परिणाम

वक्र सतह को समतल वृत्ताकार फलक या खुले मुँह से अलग पहचानकर गोले और अर्धगोले के क्षेत्रफल तथा आयतन निकालें।

अवधारणाएँ और मान्यताएँ

गोले की सतह उसके केंद्र से r दूरी पर होती है। उसका व्यास 2 × r है। उसका कोई समतल आधार नहीं है: पूरी सतह वक्र है।

ज्यामितीय तुलना से गोले का क्षेत्रफल r त्रिज्या और 2 × r ऊँचाई वाले बेलन की वक्र दीवार के क्षेत्रफल के बराबर मिलता है। इसलिए गोले का क्षेत्रफल = 4 × π × r²। वृत्ताकार काटों की तुलना से उसका आयतन उसे घेरने वाले उस बेलन का दो-तिहाई मिलता है: गोले का आयतन = (4/3) × π × r³।

केंद्र से काटने पर दो अर्धगोले मिलते हैं। प्रत्येक का आयतन और वक्र क्षेत्रफल गोले के संबंधित माप का आधा है:

अर्धगोले का आयतन = (2/3) × π × r³; वक्र क्षेत्रफल = 2 × π × r²।

ठोस अर्धगोले में कटने से बना वृत्ताकार फलक भी है, जिसका क्षेत्रफल π × r² है। इसलिए उसका कुल क्षेत्रफल 3 × π × r² है। कटोरे का खुला मुँह लेप करने की सतह नहीं है: भीतरी वक्र क्षेत्रफल में वह काल्पनिक वृत्त शामिल नहीं होता। ठोस अर्धगोला समतल आधार पर रखा हो और आधार छिपा हो तो केवल वक्र क्षेत्रफल खुला रहता है।

निर्धारित सन्निकटन के रूप में π = 22/7 लें। माप सटीक हैं; कटोरे की क्षमता में भीतरी त्रिज्या और नगण्य दीवार-मोटाई लें। बीच की भिन्नों का पूर्णांकन न करें। केवल स्पष्ट रूप से माँगी गई अंतिम क्षमता को निकटतम 0.001 L तक पूर्णांकित करें; 1000 cm³ = 1 L।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — गोला। एक गोले की त्रिज्या 21 cm है। क्षेत्रफल = 4 × (22/7) × 21² = 5544 cm²। आयतन = (4/3) × (22/7) × 21³ = 38808 cm³। क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों में और आयतन घन इकाइयों में मापा जाता है।

उदाहरण 2 — ठोस अर्धगोला। त्रिज्या 10.5 cm है। वृत्ताकार फलक का क्षेत्रफल (22/7) × 10.5² = 346.5 cm² है। वक्र क्षेत्रफल = 2 × 346.5 = 693 cm²; कुल क्षेत्रफल = 693 + 346.5 = 1039.5 cm²। आयतन = (2/3) × 346.5 × 10.5 = 2425.5 cm³।

उदाहरण 3 — कटोरे की क्षमता खोजें। एक अर्धगोलाकार कटोरे का भीतरी वक्र क्षेत्रफल 1232 cm² है। उसकी त्रिज्या और किनारे तक भरी क्षमता निकटतम 0.001 L तक निकालें। 2 × (22/7) × r² = 1232 से r² = 196 और r = 14 cm। क्षमता = (2/3) × (22/7) × 14³ = 17248/3 cm³ = 17248/3000 L ≈ 5.749 L। इकाई बदलने से पहले पूर्णांकन न करें।

आम गलतियाँ

अर्धगोले का कुल क्षेत्रफल गोले के क्षेत्रफल का केवल आधा नहीं है: कटा हुआ फलक अतिरिक्त है। कटोरे के खुले मुँह पर काल्पनिक वृत्त का लेप न गिनें और त्रिज्या की जगह व्यास न रखें।

अभ्यास प्रश्न

1. एक गोले की त्रिज्या 10.5 cm है। पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन निकालें।
2. एक ठोस अर्धगोले की त्रिज्या 7 cm है। वक्र और कुल क्षेत्रफल निकालें।
3. खुले अर्धगोलाकार कटोरे का भीतरी व्यास 42 cm है। क्षमता लीटर में निकालें।
4. 616 cm² पृष्ठीय क्षेत्रफल वाले गोले को दो बराबर ठोस अर्धगोलों में काटा जाता है। उनके कुल पृष्ठीय क्षेत्रफलों का योग निकालें।

हल सहित उत्तर

1. क्षेत्रफल = 4 × (22/7) × 10.5² = 1386 cm²। आयतन = (4/3) × (22/7) × 10.5³ = 4851 cm³।
2. वृत्ताकार फलक का क्षेत्रफल = (22/7) × 49 = 154 cm²। वक्र क्षेत्रफल = 308 cm²; कुल क्षेत्रफल = 308 + 154 = 462 cm²।
3. त्रिज्या = 42 ÷ 2 = 21 cm। क्षमता = (2/3) × (22/7) × 21³ = 19404 cm³ = 19.404 L।
4. प्रत्येक नए वृत्ताकार फलक का क्षेत्रफल 616 ÷ 4 = 154 cm² है। पुरानी वक्र सतह बनी रहती है, इसलिए संयुक्त क्षेत्रफल = 616 + 2 × 154 = 924 cm²।