पूरक कोणों के संबंध

सीखने का लक्ष्य

पूरक न्यूनकोणों के अनुपात बदलकर लिखना, कोणों के अनुपातों के दशमलव मान निकाले बिना व्यंजक सरल करना और उचित परिभाषा-क्षेत्र की शर्तों के साथ कोणों वाले समीकरण हल करना।

अवधारणाएँ और मान्यताएँ

कोण डिग्री में हैं। दो कोणों का योग 90° हो तो वे पूरक कहलाते हैं। इस पूरे पाठ में दोनों कोण न्यूनकोण हैं: 0° < θ < 90°। इसलिए 90° − θ भी न्यूनकोण है और सभी छह अनुपात परिभाषित हैं।

समकोण त्रिभुज ABC में ∠C = 90° होने पर कोणों के योग से A + B = 90° मिलता है। A के सामने वाली लंबभुजा B की आसन्न लंबभुजा है, और A की आसन्न लंबभुजा B के सामने है। कर्ण नहीं बदलता।

इसलिए एक कोण के लिए सामने वाली भुजा/कर्ण, दूसरे के लिए आसन्न भुजा/कर्ण के बराबर है: sin(90° − θ) = cos θ; cos(90° − θ) = sin θ।

इसी प्रकार दोनों लंबभुजाओं की भूमिकाएँ बदलने से: tan(90° − θ) = cot θ; cot(90° − θ) = tan θ। उपयुक्त अशून्य अनुपातों के व्युत्क्रम लेने पर: sec(90° − θ) = cosec θ; cosec(90° − θ) = sec θ।

ये कोणों के संबंध हैं, अनुपातों के मानों को 90 से घटाने के निर्देश नहीं। शून्य हर होने पर किसी भाग वाले संबंध को लागू न करें।

न्यूनकोण α और β के लिए sin α = cos β से α + β = 90° मिलता है। cos β को sin(90° − β) से बदलें। फिर इस तथ्य का उपयोग करें कि न्यूनकोणों के अंतराल में कोण बढ़ने पर sine लगातार बढ़ता है, इसलिए अलग कोणों के sine मान अलग होते हैं। उसी अंतराल में tangent भी लगातार बढ़ता है, इसलिए tan α = cot β से भी वही निष्कर्ष मिलता है। कोणों का उचित क्षेत्र न हो तो आवर्ती मानों के कारण इससे एक अद्वितीय कोण तय नहीं किया जा सकता।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — दशमलव सारणी की आवश्यकता नहीं। sin 23°/cos 67° + tan 34°/cot 56° को सरल करें।

23° + 67° = 90° होने से cos 67° = sin 23°। 34° + 56° = 90° होने से cot 56° = tan 34°। दोनों हर धनात्मक हैं, इसलिए व्यंजक 1 + 1 = 2 है।

उदाहरण 2 — पूरक कोण के अनुपात निकालना। न्यूनकोण θ के लिए sin θ = 5/13 है।

धनात्मक वर्गमूल लेने पर cos θ = √(1 − 25/169) = 12/13। इसलिए cos(90° − θ) = 5/13 और sec(90° − θ) = 1/(5/13) = 13/5। साथ ही tan(90° − θ) = cot θ = (12/13)/(5/13) = 12/5।

उदाहरण 3 — कोण वाला समीकरण। sin((2x + 10)°) = cos((3x − 5)°) हल करें, जहाँ दोनों दिखाए गए कोण न्यूनकोण हैं।

डिग्री में उनके मापों का योग 90 होना चाहिए: 2x + 10 + 3x − 5 = 90। इसलिए 5x + 5 = 90, जिससे x = 17। कोण 44° और 46° हैं: दोनों न्यूनकोण हैं और उनका योग 90° है, जिससे मूल संबंध की पुष्टि होती है।

आम गलतियाँ

पूरक कोणों को 180° योग वाले कोणों से भ्रमित करना; पूरक कोणों के sine मान हमेशा बराबर मान लेना; समीकरण हल करते समय कोणों का क्षेत्र अनदेखा करना; sec का गलत व्युत्क्रम संबंध लगाना।

अभ्यास प्रश्न

1. cos 19°/sin 71° को सरल करें।
2. न्यूनकोण θ के लिए cot θ = 7/24 है। tan(90° − θ) और sin(90° − θ) निकालें।
3. tan((4x − 7)°) = cot((2x + 1)°) हल करें, जहाँ दोनों कोण न्यूनकोण हैं।
4. tan 18° tan 72° + sec 31° sin 59° को सरल करें।

चरणबद्ध हल

1. 19° + 71° = 90° होने से sin 71° = cos 19° ≠ 0। भागफल 1 है।
2. आसन्न भुजा = 7k और सामने वाली भुजा = 24k लें, जहाँ k > 0; कर्ण = 25k। इसलिए tan(90° − θ) = 7/24, और sin(90° − θ) = cos θ = 7/25।
3. पूरक कोणों के माप जोड़ें: 4x − 7 + 2x + 1 = 90। इसलिए x = 16, जिससे कोण 57° और 33° मिलते हैं; दोनों मान्य हैं।
4. tan 72° = cot 18°, इसलिए उनका गुणनफल 1 है। sin 59° = cos 31°, इसलिए sec 31° sin 59° = 1। कुल = 2।