पाइथागोरस प्रमेय और सरल अनुप्रयोग

सीखने का परिणाम

समकोण त्रिभुजों की अज्ञात लंबाइयाँ निकालें और विलोम से जाँचें कि कोई त्रिभुज समकोण है या नहीं।

अवधारणाएँ और मान्यताएँ

∠B = 90° वाले त्रिभुज ABC में AB और BC लंबवत भुजाएँ हैं; समकोण के सामने की भुजा AC कर्ण है। पाइथागोरस प्रमेय कहता है:

AC² = AB² + BC²।

कर्ण सबसे लंबी भुजा है। समानता भुजाओं पर बने वर्गों के क्षेत्रफलों की है, बिना वर्ग किए लंबाइयों की नहीं। a + b भुजा वाले वर्ग के भीतर चार समान समकोण त्रिभुज रखें, जिनकी लंबवत भुजाएँ वर्ग के किनारों पर हों; उनके कर्ण c भुजा वाला वर्ग घेरते हैं। इसलिए (a + b)² = 4 × (a × b/2) + c², जो सरल होकर a² + b² = c² बनता है।

कर्ण के लिए लंबवत भुजाओं के वर्ग जोड़ें; किसी लंबवत भुजा के लिए कर्ण के वर्ग से दूसरी भुजा का वर्ग घटाएँ। धनात्मक वर्गमूल लें: लंबाइयाँ धनात्मक हैं।

विलोम कहता है: त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा c के लिए c² = a² + b² हो तो c के सामने का कोण 90° है।

यूक्लिडीय समतल में सीधे रेखाखंडों की सटीक लंबाइयाँ लें। समकोण की पुष्टि करें, वर्ग करने से पहले इकाइयाँ समान करें और सन्निकटन न पूछा हो तो वर्गमूल सटीक रूप में रखें। दो दशमलव स्थानों तक सन्निकट मान लिखते समय ≈ लगाएँ।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — कर्ण। त्रिभुज ABC में B समकोण है, AB = 9 cm और BC = 12 cm। AC² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225। इसलिए AC = 15 cm, जो दोनों लंबवत भुजाओं से बड़ा है।

उदाहरण 2 — सीढ़ी की ऊँचाई। एक सीधी 17 m लंबी सीढ़ी समतल जमीन पर लंबवत दीवार से टिकी है। उसका निचला सिरा दीवार से 8 m दूर है; मोटाई अनदेखी करें। दीवार पर संपर्क की लंबवत ऊँचाई h हो तो h² + 8² = 17²। इसलिए h² = 289 - 64 = 225 और h = 15 m।

उदाहरण 3 — समकोण त्रिभुज बनाएँ। समद्विबाहु त्रिभुज ABC में AB = AC = 13 cm और BC = 10 cm। D को BC का मध्यबिंदु लें। त्रिभुज ABD और ACD, SSS से सर्वांगसम हैं, इसलिए D पर बराबर आसन्न कोण प्रत्येक 90° हैं। अतः BD = 5 cm और AD² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144। ऊँचाई AD = 12 cm; ABC का क्षेत्रफल = 10 × 12/2 = 60 cm²।

आम गलतियाँ

चित्र का दिखना समकोण का प्रमाण नहीं है। तिरछी भुजा अपने-आप कर्ण नहीं बनती। भुजाओं के वर्गों की जगह केवल लंबाइयाँ न जोड़ें। यहाँ समद्विबाहु त्रिभुज के आधार का मध्यबिंदु उपयोगी लंब देता है; मनमाने त्रिभुज में ऐसा जरूरी नहीं।

अभ्यास प्रश्न

1. त्रिभुज PQR में Q समकोण है, PQ = 12 cm और QR = 35 cm। PR निकालें।
2. त्रिभुज ABC में AB = 10 cm, BC = 24 cm और AC = 26 cm। क्या वह समकोण त्रिभुज है? समकोण का शीर्ष पहचानें।
3. आयत ABCD की क्रमागत भुजाएँ AB = 7 cm और BC = 9 cm हैं। विकर्ण AC का सटीक मान और दो दशमलव स्थानों तक सन्निकटन निकालें।
4. त्रिभुज PQR में PQ = PR = 17 cm और QR = 16 cm। P से लंबवत ऊँचाई और क्षेत्रफल निकालें।

हल सहित उत्तर

1. PR² = 12² + 35² = 144 + 1225 = 1369। इसलिए PR = 37 cm।
2. सबसे लंबी भुजा AC के लिए 26² = 676 = 10² + 24²। विलोम से ∠B = 90°।
3. आयत के कोने समकोण हैं, इसलिए AC² = 7² + 9² = 130। AC = √130 cm ≈ 11.40 cm।
4. P से डाला गया लंब QR को 8 cm के दो हिस्सों में बाँटता है। ऊँचाई² = 17² - 8² = 289 - 64 = 225, इसलिए ऊँचाई = 15 cm। क्षेत्रफल = 16 × 15/2 = 120 cm²।