मिश्र अनुपात और बदलते अनुपात

सीखने का उद्देश्य

मिश्र अनुपात बनाना, साझा राशियों से संबंध बनाना और प्रत्येक बदलाव का हिसाब रखकर प्रश्न हल करना सीखें।

मिश्र और बदलते अनुपात समझें

a:b और c:d का मिश्र अनुपात (a × c):(b × d) है, क्योंकि a/b और c/d गुणा होते हैं। संगत पद गुणा करें, तिर्यक नहीं; तिर्यक गुणनफल तुलना या समानुपात-जाँच के लिए हैं।

A:B और B:C में A/B × B/C करने पर B कटकर A/C मिलता है। यह पहले और अंतिम पद का अनुपात है, पूरा तीन-पदीय अनुपात नहीं। पूरे A:B:C के लिए गुणा करके B-पद समान करें।

शुरुआती मात्राएँ au, bu मानें; u > 0 साझा पैमाना और au का अर्थ a × u है। बताई वृद्धि या कमी सही राशि पर लगाकर नया अनुपात बनाएँ। पहले इकाइयाँ मिलाएँ।

समान धनात्मक गुणक अनुपात नहीं बदलता। समान जोड़ सामान्यतः बदलता है; सापेक्ष बढ़ोतरी अलग होती है। बराबर शुरुआती मात्राएँ अपवाद हैं। स्थानांतरण एक से घटाकर दूसरे में जोड़ता है, इसलिए कुल स्थिर है। शेष मात्राएँ धनात्मक हों।

उदाहरण 1

धनात्मक लंबाइयों में A:B = 2:3 और B:C = 4:5 है। A:C और A:B:C निकालें।

मिश्र अनुपात है: A:C = (2 × 4):(3 × 5) = 8:15। पूरे अनुपात के लिए 2:3 को 4 से गुणा कर 8:12 तथा 4:5 को 3 से गुणा कर 12:15 पाएँ। अब B समान है, इसलिए A:B:C = 8:12:15।

उदाहरण 2

दो पात्रों में पानी का अनुपात 3:5 है। केवल पहले में 8 L जोड़ें; दूसरा अपरिवर्तित रहे। नया अनुपात 5:7 है। शुरुआती मात्राएँ निकालें।

शुरुआती मात्राएँ 3u L और 5u L मानें। तब (3u + 8)/(5u) = 5/7। तिर्यक गुणा से 21u + 56 = 25u, इसलिए 56 = 4u और u = 14। शुरू में 42 L और 70 L थे। जोड़ने के बाद 50:70 सरल होकर 5:7 बनता है।

उदाहरण 3

दो डिब्बों में मनकों का अनुपात 7:5 है। पहले से 10 मनके दूसरे में डालें; अन्य बदलाव नहीं होता। नया अनुपात 4:5 है। शुरुआती संख्याएँ निकालें।

शुरुआती संख्याएँ 7u और 5u मानें। तब (7u − 10)/(5u + 10) = 4/5। इसलिए 35u − 50 = 20u + 40, जिससे 15u = 90 और u = 6। शुरू में 42 और 30 मनके थे। बाद में 32 और 40 हैं, अनुपात 4:5 है। दोनों स्थितियों में कुल 72 है।

सामान्य गलतियाँ

अनुपात-गुणन का अर्थ समझें। जोड़ को गुणन न मानें। स्थानांतरण दोनों राशियाँ बदलता है; शेष धनात्मक हों।

अभ्यास प्रश्न

1. 3:8 और 4:9 का मिश्र अनुपात निकालें।
2. धनात्मक राशियों में P:Q = 3:4 और Q:R = 6:7 है। P:Q:R और P:R निकालें।
3. दो पात्रों में पानी का अनुपात 2:3 है। प्रत्येक में 6 L जोड़ने पर यह 3:4 होता है। शुरुआती मात्राएँ निकालें।
4. दो पात्रों में पानी का अनुपात 5:8 है। केवल दूसरे से 9 L निकालें; पहला अपरिवर्तित रहे। नया अनुपात 5:6 है। शुरुआती मात्राएँ निकालें।

हल सहित उत्तर

1. संगत पद गुणा करें: (3 × 4):(8 × 9) = 12:72 = 1:6।
2. अनुपातों को गुणा करके 9:12 और 12:14 बनाएँ। इसलिए P:Q:R = 9:12:14 और P:R = 9:14।
3. लिखें: (2u + 6)/(3u + 6) = 3/4। तब 8u + 24 = 9u + 18, इसलिए u = 6। शुरुआती मात्राएँ: 12 L और 18 L। बाद में: 18 L और 24 L, अनुपात 3:4।
4. लिखें: (5u)/(8u − 9) = 5/6। तब 30u = 40u − 45, इसलिए u = 4.5। शुरुआती मात्राएँ: 22.5 L और 36 L। बाद में: 22.5 L और 27 L, दोनों धनात्मक, अनुपात 5:6।